Первый урок по комплексным числам. Сегодня мы разберём:
Если же вас интересует тригонометрическая форма записи комплексного числа, либо извлечение корней из комплексных чисел — этим темам посвящены отдельные уроки.
Сегодня — лишь самое главное. Но не самое простое.:)
Когда-то нам хватало натуральных чисел:
\[\mathbb{N}=\left\{ 1;2;3;...;n;... \right\}\]
Всё было прекрасно: «У тебя 5 бананов, у меня ещё 3 — итого у нас 5 + 3 = 8 бананов». Сумма двух натуральных чисел всегда даёт новое натуральное число (говорят, что операция сложения замкнута на множестве натуральных чисел).
Но вот на сцену выходит вычитание — и натуральных чисел стало недостаточно. Например разность 3 − 5 = −2 уже не будет натуральным. Так появились целые числа (натуральные, им противоположные и ноль):
\[\mathbb{Z}=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;...;\pm n;... \right\}\]
Дальше к делу подключились операции умножения и деления. Да, произведение двух целых чисел всё ещё целое, но вот деление приводит к образованию дробей. Например, 1 : 2 или 5 : 4 уже нельзя записать целым числом. Так появилось множество рациональных чисел или множество дробей:
\[\mathbb{Q}=\left\{ \left. \frac{p}{q} \right|p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N} \right\}\]
Это был настоящий триумф для древней математики, и в тот момент казалось, что ничего больше уже изобрести нельзя. Да и зачем?
Проблема пришла откуда не ждали. В какой-то момент классическое умножение «разрослось» до возведения в степень:
\[{{a}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n}\]
Тут-то и выяснилось, что возведение рационального числа в натуральную степень всё ещё будет рациональным числом. Но вот обратная операция — извлечение корня — выносит нас за пределы рациональных чисел:
\[\sqrt{2}=1,41421...\notin \mathbb{Q}\]
Так появилось множество действительных чисел — множество бесконечных десятичных дробей, которые могут быть периодическими (и тогда это обычное рациональное число) и непериодическими (такие числа называют иррациональными, и их неизмеримо больше).
\[\mathbb{R}=\left\{ \begin{align} & {{a}_{0}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}},{{a}_{n+1}}... \\ & {{a}_{i}}=0,1,2,...,9 \\ \end{align} \right\}\]
Казалось бы: ну вот теперь точно всё! Что ещё нужно для счастья? Проблема в том, что на множестве действительных чисел нельзя извлечь даже самый простой квадратный корень из отрицательного числа:
\[\sqrt{1}=1;\quad \sqrt{-1}=???\]
Однако законы физики (особенно электродинамика и вообще всё, где есть слово «динамика») как бы намекали, что множество содержательных процессов протекает там, где привычные корни не извлекаются. А значит, следует расширить множество действительных чисел так, чтобы такие корни всё же извлекать.
И тут открылись врата в Ад...
Начнём с ключевого определения.
Определение. Комплексная единица — это число $i$, которое при возведении в квадрат даёт −1:
\[{{i}^{2}}=-1\]
Очевидно, комплексная единица не является привычным нам действительным числом: $i\notin \mathbb{R}$. Просто потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Однако в остальном это такое же число, как и все остальные. Комплексные единицы можно складывать, умножать, их можно комбинировать с «нормальными» числами:
\[\begin{align} i+i &=2i; \\ 2i-9i &=-7i; \\ {{i}^{3}} &={{i}^{2}}\cdot i=\left( -1 \right)\cdot i=-i; \\ 1+i+2+3i &=(1+2)+(i+3i)= \\ & =3+4i \end{align}\]
В последнем примере мы сгруппировали слагаемые и провели подобные — совсем как с многочленами. Нельзя напрямую сложить действительное число и комплексную единицу, поскольку сущность числа $i$ нам не ясна. Но привести подобные — всегда пожалуйста.
И это первое замечательное свойство комплексной единицы. По сути, работать с ней — всё равно что работать с многочленом. Просто вместо переменной $x$ теперь будет $i$. Ну и помним, что ${{i}^{2}}=-1$, что ещё больше упрощает жизнь:
\[\begin{align} 1+{{i}^{2}} & =1-1=0; \\ 1+2i+{{i}^{3}} & =1+2i-i=1+i; \end{align}\]
Обратите внимание: запись $1+i$ является окончательной, её нельзя упростить. Точно так же нельзя упростить многочлен $kx+b$, например. И тут мы плавно переходим к следующему пункту.
А теперь всё по-взрослому.
Определение. Комплексное число — это любое число вида
\[z=a+bi\]
где $a$ и $b$ — действительные числа. При этом число $a$ называют действительной частью комплексного числа (пишут $a=\operatorname{Re}\left( z \right)$), а число $b$ — мнимой частью (пишут $b=\operatorname{Im}\left( z \right)$).
Часто комплексные числа обозначают именно буквой $z$. Хотя это совсем необязательно. И выглядит это примерно так:
\[\begin{align} & z=5+3i \\ & \operatorname{Re}\left( z \right)=5 \\ & \operatorname{Im}\left( z \right)=3 \\ \end{align}\]
Запись вида $z=a+bi$ называется стандартной формой записи комплексного числа. Всякое действительно число можно представить в виде комплексного с нулевой мнимой частью:
\[\begin{align} & 5=5+0\cdot i \\ & x=x+0\cdot i\left( \forall x\in \mathbb{R} \right) \\ \end{align}\]
И напротив: существуют «чисто мнимые» числа, у которых вообще нет действительной части. Та же комплексная единица, например:
\[\begin{align} i &=0+1\cdot i \\ 35i &=0+35\cdot i \\ \end{align}\]
Таким образом, действительные числа являются частным случаем комплексных. Подобно тому как рациональные числа являются частным случаем действительных (в конце концов, рациональные числа — те же десятичные дроби, но с дополнительным условием: они периодические).
Важно понимать, что пара чисел $a$ и $b$ однозначно задаёт комплексное число. Не существует двух разных представлений одного и того же числа $z$.
В самом деле, пусть некоторое число записано двумя способами:
\[z={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i\]
Соберём все действительные слагаемые слева, а мнимые — справа:
\[{{a}_{1}}-{{a}_{2}}=\left( {{b}_{2}}-{{b}_{1}} \right)i\]
Слева мы видим действительное число. Значит, справа тоже должно стоять действительное число. Единственная ситуация, в которой это возможно:
\[\begin{align} {{b}_{2}}-{{b}_{1}} & =0 \\ {{b}_{1}} & ={{b}_{2}} \end{align}\]
Получается, что справа от знака равенства стоит ноль. Следовательно, слева тоже ноль:
\[\begin{align} {{a}_{1}}-{{a}_{2}} & =0 \\ {{a}_{1}} & ={{a}_{2}} \end{align}\]
Следовательно, исходные записи совпадают.
Поэтому имеет смысл следующее определение.
Определение. Два комплексных числа равны друг другу тогда и только тогда, когда равны их действительные части, а также равны их мнимые части:
\[\begin{align} & {{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \\ & {{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \\ & {{z}_{1}}={{z}_{2}}\Rightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}};{{b}_{1}}={{b}_{2}} \\ \end{align}\]
Если хотя бы одна из частей не равна, то и сами числа не равны.
Поскольку от перестановки слагаемых сумма не меняется (сложение чисел — настолько суровая операция, что какие-то там «комплексные единицы» никак не нарушают его коммутативности), мы можем записать:
\[5+7i=7i+5\]
А вот перестановка мнимой и действительной части (если эти части разные) немедленно ведёт к нарушению равенства:
\[5+7i\ne 7+5i\]
Подобно тому как точки с координатами (5; 7) и (7; 5) — это разные точки координатной плоскости, вот так и числа $5+7i$ и $7+5i$ — это разные числа. Помните об этом.:)
К координатной плоскости мы ещё вернёмся. А пока определим правила сложения и вычитания комплексных чисел.
Выше мы проводили аналогию между комплексными числами и многочленами. Идём по этому пути дальше и вспоминаем, что многочлены можно складывать, группируя слагаемые и приводя подобные:
\[\begin{align} & \left( {{k}_{1}}x+{{b}_{1}} \right)+\left( {{k}_{2}}x+{{b}_{2}} \right)= \\ & =\left( {{k}_{1}}x+{{k}_{2}}x \right)+\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}} \right)= \\ & =\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)x+\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}} \right) \\ \end{align}\]
Точно так же можно определить и сложение (да и вычитание) двух комплексных чисел. Всё просто:
Определение. Пусть даны два комплексных числа: ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i$ и ${{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i$. Тогда можно найти сумму и разность этих чисел:
\[\begin{align} {{z}_{1}}+{{z}_{2}} & =\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \right)+\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \right)= \\ & =\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)+\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}} \right)i; \\ {{z}_{1}}-{{z}_{2}} & =\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \right)-\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \right)= \\ & =\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)+\left( {{b}_{1}}-{{b}_{2}} \right)i; \end{align}\]
Другими словами, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и отдельно — мнимые. То же самое для вычитания.
Не нужно учить эти формулы. Дальше будут формулы умножения и деления — они ещё сложнее. Нужно понять ключевую идею: мы работаем с комплексными числами точно так же, как с многочленами. С небольшим дополнением: все степени комплексной единицы выше первой «сжигаются» прямо по определению самой единицы:
\[\begin{align} & {{i}^{1}}=i; \\ & {{i}^{2}}=-1; \\ & {{i}^{3}}={{i}^{2}}\cdot i=\left( -1 \right)\cdot i=-i; \\ & {{i}^{4}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( -1 \right)}^{2}}=1; \\ \end{align}\]
Небольшое замечание. В отличие от математики 5—6 классов, в серьёзной «взрослой» алгебре нет такого понятия как «вычитание». Зато есть понятие противоположного элемента и алгебраической суммы:
\[1-3=1+\left( -3 \right)=-2\]
Всё это в полной мере относится и к комплексным числам. Там тоже есть противоположные:
\[z=a+bi\Rightarrow -z=\left( -a \right)+\left( -b \right)\cdot i\]
Есть ноль (нейтральный элемент по сложению):
\[\begin{align} 0 & =0+0\cdot i \\ z & =a+bi \\ z+0 & =\left( a+0 \right)+\left( b+0 \right)\cdot i= \\ & =a+bi=z \end{align}\]
В общем, множество комплексных чисел — это абсолютно «нормальное» множество с понятной операцией сложения. Буквально через пару минут мы определим и умножение, но сначала давайте всё-таки запишем определение самого множества комплексных чисел.
Определение. Множество комплексных чисел — это множество чисел вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, ${{i}^{2}}=-1$ — комплексная единица.
Записывается это так:
\[\mathbb{C}=\left\{ a+bi|a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}\]
Не пугайтесь, когда увидите подобную запись где-нибудь в учебнике алгебры. По сути, это краткая запись всего того, о чём мы говорили выше. Ничего нового мы здесь не узнали.
А вот что действительно представляет интерес — сейчас узнаем.:)
Итак, комплексное число — это просто конструкция вида $a+bi$. И такая конструкция однозначно определяется парой действительных чисел $\left( a;b \right)$. Такую пару ещё называют упорядоченной. К примеру, (3; 17) и (17; 3) — это разные пары, которые задают разные комплексные числа.
Такие упорядоченные пары удобно рассматривать как координаты точек. По горизонтали (ось абсцисс) мы будем отмечать действительную часть числа, а по вертикали (ось ординат) — мнимую.
Определение. Комплексная плоскость — декартова система координат, где по горизонтали отмечается действительная часть комплексного числа, а по вертикали — мнимая.
Рассмотрим несколько примеров. Отметим на комплексной плоскости числа:
\[\begin{align} & {{z}_{1}}=5+3i; \\ & {{z}_{2}}=-1+4i; \\ & {{z}_{3}}=4+0\cdot i; \\ & {{z}_{4}}=0+2i. \\ \end{align}\]
Как видим, привычные нам действительные числа располагаются по горизонтали — на оси абсцисс. Они состоят только из действительной части. Таким числом является ${{z}_{3}}=4+0\cdot i$ (отмечено красным).
А ещё есть «чисто мнимые» комплексные числа, у которых вообще нет действительной части. Они располагаются по вертикали — на оси ординат. Таким числом является, например, ${{z}_{4}}=0+2i$ (отмечено фиолетовым).
Такое представление чисел — в виде точек на комплексной плоскости — называется геометрической интерпретацией. Числа в таком виде удобно складывать и вычитать. По сути, всё сводится к сложению обычных векторов.
Допустим, мы хотим сложить два числа:
\[\begin{align} & {{z}_{1}}=2+3i; \\ & {{z}_{2}}=4+\left( -1 \right)\cdot i. \\ \end{align}\]
Отметим эти числа на комплексной плоскости, построим векторы из начала координат с концами в отмеченных точках, а затем просто сложим эти векторы (по правилу треугольника или параллелограмма — как пожелаете):
Координаты новой точки: (6; 2). Следовательно, сумма равна:
\[{{z}_{3}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=6+2i\]
Аналогичный результат можно получить и алгебраически:
\[\begin{align} {{z}_{3}} & ={{z}_{1}}+{{z}_{2}}= \\ & =(2+3i)+\left( 4+\left( -1 \right)\cdot i \right)= \\ & =6+2i\end{align}\]
Как видим, алгебраические выкладки заняли гораздо меньше времени и места. Уже хотя бы потому что не потребовалось чертить систему координат.:)
Зачем же тогда нужна комплексная плоскость и геометрическая интерпретация? Всё встанет на свои места буквально через пару уроков, когда мы рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексных чисел, а также будем извлекать из этих чисел корни.
А чтобы подготовиться к этим урокам, рассмотрим ещё два ключевых определения.
Для начала вспомним школьную алгебру. Работа с многочленами, 7-й класс:
Определение. Выражения вида $a+b$ и $a-b$ называются сопряжёнными. Их произведение
\[\left( a+b \right)\left( a-b \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\]
называется разностью квадратов и является одной из формул сокращённого умножения.
Важное замечание: в роли $a$ и $b$ может выступать что угодно. Например, в 8-м классе мы использовали сопряжённые для избавления от иррациональности в знаменателе:
\[\begin{align} & \frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{1\cdot \left( \sqrt{3}+1 \right)}{\left( \sqrt{3}-1 \right)\cdot \left( \sqrt{3}+1 \right)}= \\ & =\frac{\sqrt{3}+1}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \\\end{align}\]
В математических классах с помощью сопряжённых искали обратные числа, чтобы затем решать сложные показательные и логарифмические уравнения:
\[\begin{align} & \left( \sqrt{2}-1 \right)\left( \sqrt{2}+1 \right)=1 \\ & \frac{1}{{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}}={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}} \\\end{align}\]
Теперь настало время комплексных чисел. В них тоже можно ввести понятие сопряжённых.
Определение. Пусть дано комплексное число $z=a+bi$. Тогда комплексно-сопряжённым называется число
\[\overline{z}=a-bi\]
Комплексно-сопряжённые числа отмечаются чертой сверху.
Рассмотрим несколько примеров:
\[\begin{align} & z=1+2i\Rightarrow \overline{z}=1-2i; \\ & z=3-i\Rightarrow \overline{z}=3+i; \\ & z=25i\Rightarrow \overline{z}=-25i; \\ & z=17\Rightarrow \overline{z}=17. \\ \end{align}\]
Видим, что комплексно-сопряжённое к «чисто мнимому» числу есть число, ему противоположное. А комплексно-сопряжённое к действительному числу есть само это число.
Зачем нужны комплексно-сопряжённые? Вспомним всё ту же формулу разности квадратов:
\[\begin{align} z\cdot \overline{z} & =\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)= \\ & ={{a}^{2}}-{{\left( bi \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\cdot {{i}^{2}}= \\ & ={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \end{align}\]
Итак, произведение числа на комплексно-сопряжённое даёт сумму квадратов действительной и мнимой части. Это ключевое свойство комплексно-сопряжённых, и оно позволяет нам рассмотреть следующее определение.
Снова вспомним школьную алгебру. Модуль действительного числа определяют так:
\[\left| a \right|=\left\{ \begin{align} & 1\cdot a,\quad a \gt 0 \\ & 0\cdot a,\quad a=0 \\ & \left( -1 \right)\cdot a,\quad a \lt 0 \\\end{align} \right.\]
Ключевая идея: модуль числа — это всегда неотрицательная величина, равная расстоянию от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта. Но всё это происходит на числовой прямой. На комплексной плоскости к делу подключается теорема Пифагора.
Определение. Модуль комплексного числа — это величина, которая обозначается $\left| z \right|$ и считается по формуле:
\[\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\]
Вновь обратимся к геометрической интерпретации:
Красным отмечен прямоугольный треугольник с катетами $\left| a \right|$ и $\left| b \right|$. По теореме Пифагора его гипотенуза как раз равна $\left| z \right|$:
\[l=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\left| z \right|\]
Таким образом, модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки, соответствующей этому числу. В частности, при $b=0$ мы получаем классическое определение модуля для действительных чисел:
\[b=0\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}}\]
Получается, что на множестве комплексных чисел нельзя ввести привычные нам понятия «больше» или «меньше». Поскольку каждое число характеризуется двумя независимыми параметрами (действительной и мнимой частью), нет универсальной меры, нет отношения порядка.
Можно считать это фундаментальным законом природы. Когда мы держим в голове больше одного параметра, нет больше универсального критерия успеха:
- Поменяли работу — на новой зарплата выше, но коллектив хуже. Что важнее?
- Ушли из универа — теперь есть время на работу, но нет формального образования. И вновь: что важнее?
Оценка одного и того же события будет меняться в зависимости от настроения и наших предпочтений.
Модуль числа нам пригодится в следующем уроке. А вот комплексно-сопряжённые мы будем применять уже сейчас.
Комплексные числа можно не только складывать и вычитать, но даже умножать и делить друг на друга.
С умножением ничего особенного.
Определение. Пусть даны два комплексных числа: ${{z}_{1}}=a+bi$ и ${{z}_{2}}=c+di$. Тогда их можно умножить:
\[\begin{align} {{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}} & =\left( a+bi \right)\left( c+di \right)= \\ & =ac+bc\cdot i+ad\cdot i+bd\cdot {{i}^{2}}= \\ & =\left( ac-bd \right)+\left( ad+bc \right)\cdot i\end{align}\]
Как видим, произведение комплексных чисел вновь даёт комплексное число.
Как и в случае со сложением, не нужно учить эти формулы наизусть. Лучше просто потренироваться и понять сам механизм:
\[\begin{align} \left( 1-2i \right)\cdot \left( 3+i \right) & =3-6i+i-2{{i}^{2}}= \\ & =3-5i-2\cdot \left( -1 \right)= \\ & =5-5i \end{align}\]
Достаточно решить 10—15 таких примеров — и никакие специальные формулы и определения вам больше не понадобятся. То же самое и с делением.
Финальный бросок — попробуем разделить одно комплексное число на другое. Разумеется, делитель не должен быть нулём, иначе частное не определено.
Определение. Пусть даны два комплексных числа: ${{z}_{1}}=a+bi$ и ${{z}_{2}}=c+di$, причём $\left| {{z}_{2}} \right|\ne 0$. Тогда их можно разделить:
\[\begin{align} \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} & =\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left( a+bi \right)\left( c-di \right)}{\left( c+di \right)\left( c-di \right)}= \\ & =\frac{ac-ad\cdot i+bc\cdot i-bd\cdot {{i}^{2}}}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}= \\ & =\frac{ac+bd}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\cdot i \end{align}\]
Частное комплексных чисел вновь будет комплексным числом.
Саму формулу не нужно запоминать. Достаточно лишь отметить для себя, что мы умножили числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряжённое к знаменателю. Само деление можно выполнять напролом:
\[\begin{align} \frac{1-2i}{3+i} & =\frac{\left( 1-2i \right)\left( 3-i \right)}{\left( 3+i \right)\left( 3-i \right)}= \\ & =\frac{3-6i-i-2}{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}= \\ & =0,1-0,7i \end{align}\]
Тем не менее, даже после основательной тренировки умножение и особенно деление комплексных чисел остаётся трудоёмкой операцией, где можно допустить множество ошибок. Поэтому для таких операций (а также для кое-чего гораздо более серьёзного) математики придумали другую форму записи комплексных чисел — тригонометрическую. С ней мы и познакомимся на следующем уроке.:)
