Решение задач B6: №362—377

15 ноября 2011

Основная проблема данного сборника — повторяющиеся тексты условий — проявляется в задачах по теории вероятностей наиболее остро. И хотя теория вероятностей изучается еще в 8—9 классах, многие старшеклассники испытывают трудности в решении таких задач.

Основная формула всего одна — это определение вероятности p:

Определение вероятности: p = k/n

где k — число устраивающих нас вариантов (благоприятных исходов), а n общее число возможных вариантов.

Таким образом, все задачи по теории вероятностей сводятся к нахождению чисел n и k. Если внимательно читать условия задач, числа находятся очень быстро.

Задача. Папа, мама, сын и дочка бросили жребий — кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама.

Всего в задаче указано 4 человека, т.е. n = 4. При этом нас устраивает только один вариант — мама, т.е. k = 1. Имеем: p = k/n = 1/4 = 0,25.

Задача. Аня, Таня, Маша и Саша бросили жребий — кому первому водить в салочках. Найдите вероятность того, что водить будет Аня.

Аналогично предыдущей задаче, здесь указано 4 имени, т.е. n = 4. Из них нас устраивает только Аня, т.е. k = 1. Находим вероятность: p = k/n = 1/4 = 0,25.

Задача. Городничий, Ляпкин-Тяпкин, Добчинский и Бобчинский бросили жребий — кому первому сдавать карты при игре в преферанс. Найдите вероятность того, что сдавать карты будет Бобчинский.

Снова 4 имени, и снова нас устраивает лишь одно из них (Бобчинский). Получаем: n = 4; k = 1 ⇒ p = k/n = 1/4 = 0,25.

Задача. Миша, Рома, Олег, Паша и Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Рома.

В этой задаче уже 5 имен, т.е. n = 5. Устраивает нас только одно из них — Рома. Поэтому k = 1. Находим вероятность: p = k/n = 1/5 = 0,2.

Задача. Женя, Лена, Коля, Ваня и Федя бросили жребий — кому идти в магазин. Найдите вероятность того, что в магазин надо будет идти Лене.

Аналогично предыдущей задаче. Всего 5 имен, т.е. n = 5. Нас интересует только одно имя — Лена. Следовательно, k = 1 и p = k/n = 1/5 = 0,2.

Задача. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.

Поскольку всего заявлено 50 выступлений, то n = 50. Теперь посмотрим, сколько выступлений состоится в каждый из дней конкурса. По условию, на первый день запланировано 26 выступлений. Значит, на другие дни останется 50 − 26 = 24 выступления.

Эти выступления распределены поровну между оставшимися 4 днями, т.е. на каждый день приходится по 24 : 4 = 6 выступлений. Получаем следующее распределение по дням:

  1. 26 выступлений;
  2. 6 выступлений;
  3. 6 выступлений;
  4. 6 выступлений;
  5. 6 выступлений.

Нас интересует третий день, на который приходится 6 выступлений. Таким образом, k = 6. Находим вероятность: p = k/n = 6/50 = 0,12.

Задача. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.

Решается аналогично предыдущей задаче. Всего заявлено 80 выступлений, т.е. n = 80. Далее, на первый день уйдет 20 выступлений. Тогда на остальные: 80 − 20 = 60. Поскольку всего останется 2 дня, то каждый день будет по 60 : 2 = 30 выступлений.

Нас интересует третий день, в который, как мы только что рассчитали, состоится 30 выступлений. Поэтому k = 30. Находим вероятность: p = k/n = 30/80 = 0,375.

Задача. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.

Еще одна задача-клон. Всего 40 выступлений, т.е. n = 40. На первый день приходится 30 выступлений, на остальные: 40 − 30 = 10. Там останется 2 дня, поэтому во второй и третий день состоится по 10 : 2 = 5 выступлений.

Нас интересует третий день, на который приходится 5 выступлений. Поэтому k = 5. Осталось найти вероятность: p = k/n = 5/40 = 0,125.

Задача. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 60 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.

Снова то же яйцо, вид сбоку. Поскольку всего заявлено 60 выступлений, n = 60. На первый день — 30 выступлений, на все остальные вместе взятые: 60 − 30 = 30 выступлений.

30 выступлений на 2 дня — это по 30 : 2 = 15 выступлений в день. Нас интересует именно третий день, в который состоится 15 выступлений, поэтому k = 15. Находим вероятность: p = k/n = 15/60 = 1/4 = 0,25.

Задача. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 60 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.

Короче, n = 60. На все дни, кроме первого, останется 60 − 18 = 42 выступления. Поскольку останется 2 дня, в каждый из них состоится по 42 : 2 = 21 выступлению. Нас интересует третий день, поэтому k = 21. Итого: p = k/n = 21/60 = 0,35.

Задача. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?

У кубика 6 граней, поэтому всего возможно 6 вариантов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Получаем, что n = 6 — по числу граней. Нас интересуют случаи, когда выпадает менее 4 очков. Другими словами, если выпадет 1, 2 или 3 очка, нас это устраивает. Всего таких вариантов k = 3. Находим вероятность: p = k/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Задача. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало более 3 очков?

Аналогично предыдущей задаче. У кубика 6 граней, поэтому n = 6. Нас интересуют случаи, когда выпало более 3 очков: 4, 5, 6 — всего 3 варианта. Поэтому k = 3. Итого: p = k/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Задача. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?

Фраза «не менее 4 очков» означает, что нас интересует 4, 5 и 6 очков. Поэтому k = 3. Всего возможно 6 вариантов (по числу граней кубика), поэтому n = 6. Осталось найти вероятность: p = k/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Задача. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 3 очков?

Аналогично предыдущей задаче. Фраза «не более 3 очков» означает, что нас устроят числа 1, 2 и 3. Итого: k = 3. Всего вариантов: n = 6. Вероятность: p = k/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Задача. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков?

Возможные варианты: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Поэтому n = 6. Из указанных чисел являются нечетными лишь 1, 3 и 5 — всего 3 числа (откуда заключаем, что k = 3). Итого, вероятность p = k/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Задача. На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.

Для начала выясним, сколько всего спортсменов приехало на соревнования: 2 из Великобритании + 2 из Испании + 4 из Швейцарии = 8 спортсменов. Итого: n = 8.

С другой стороны, нас интересуют лишь спортсмены из Испании, которых было 2 штуки. Поэтому k = 2. Находим вероятность: p = k/n = 2/8 = 1/4 = 0,25.

Смотрите также:
  1. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
  2. Семинар по задачам B10: теория вероятностей
  3. Системы линейных уравнений: основные понятия
  4. Площадь круга
  5. Показательные функции в задаче B15
  6. Изюм и виноград (смеси и сплавы)