Задача C1: показательные уравнения с ограничением

15 января 2014

В большинстве учебников при подготовке к ЕГЭ по математике рассматриваются задачи C1, состоящие из тригонометрических уравнений. Учителя рассказывают о многочисленных приемах работы с тригонометрией, но совершенно упускают из виду, что существует множество задач C1 совсем другого типа. Например, вместо «классического» тригонометрического уравнения может стоять показательное и логарифмическое. На первый взгляд, такие уравнения решаются даже легче, однако основные проблемы начинаются дальше — в процессе отборе корней.

Сегодня мы разберем еще одну задачу С1, но в отличии от предыдущих, она будет не тригонометрическим уравнением, а показательным. Но даже это показательное уравнение, будет отнюдь не самым простым.

Правила работы со степенями

Прежде чем решать любое показательное уравнение, хотел бы обратить ваше внимание на правило работы со степенными показателями. Таких правил, основных, самых важных, всего три, и все их вы уже, наверняка, знаете:

  1. axay=ax+y{{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}. Другими словами, при умножении степеней с одинаковыми основаниями, их показатели складываются.
  2. axay=ax−y\frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}. При делении степеней с одинаковыми основаниями, их показатели вычитаются.
  3. (ax)y=ax⋅y{{({{a}^{x}})}^{y}}={{a}^{x\cdot y}}. Правило возведения степени в степень. Другими словами, при возведении степени в степень, их показатели перемножаются.

Вот и все основные правила, которые нам нужно знать для решения сегодняшнего примера.

Решаем задачу

Итак, задача:

Решите показательное уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

25x−32−12⋅5x−2+7=0,x∈(2;83)

{{25}^{x-\frac{3}{2}}}-12\cdot {{5}^{x-2}}+7=0,x\in \left( 2;\frac{8}{3} \right)

Давайте внимательно посмотрим на наше показательное уравнение: у нас есть 5 в каком-то степенном значении и 25, кроме того, 25=5225={{5}^{2}}. Теперь мы можем переписать наше исходное уравнение следующим образом:

(52)x−32−12⋅5x−2+7=0

{{\left( {{5}^{2}} \right)}^{x-\frac{3}{2}}}-12\cdot {{5}^{x-2}}+7=0

Вот здесь мы вспоминаем формулу возведения степени в степень:

52⋅(x−32)−12⋅5x−2+7=0

{{5}^{2\cdot \left( x-\frac{3}{2} \right)}}-12\cdot {{5}^{x-2}}+7=0

52x−3−12⋅5x−2+7=0

{{5}^{2x-3}}-12\cdot {{5}^{x-2}}+7=0

52x−4+1−12⋅5x−2+7=0

{{5}^{2x-4+1}}-12\cdot {{5}^{x-2}}+7=0

52x−451−12⋅5x−2+7=0

{{5}^{2x-4}}\cdot {{5}^{1}}-12\cdot {{5}^{x-2}}+7=0

52(x−2)⋅5−12⋅5x−2+7=0

{{5}^{2\left( x-2 \right)}}\cdot 5-12\cdot {{5}^{x-2}}+7=0

Обратите внимание: на каждом шаге преобразовании мы работали исключительно с первым элементом, который изначально звучал как 25x−32{{25}^{x-\frac{3}{2}}}. В итоге мы получил конструкцию вида 52(x−2)⋅5{{5}^{2(x-2)}}\cdot 5. Возникает сразу два вопроса: в первую очередь, зачем нам нужно было это делать?

Потому что теперь мы можем сделать следующую замену:

5x−2=t−12⋅5x−2+7=0

\begin{align}& {{5}^{x-2}}=t \\& -12\cdot {{5}^{x-2}}+7=0 \\\end{align}

Теперь у нас получится красивое квадратное показательное уравнение:

5t2⋅5−12t+7=0

5{{t}^{2}}\cdot 5-12t+7=0

Но есть одна проблема: как добавить 1 и вычесть ее на одном из шагов? Все очень просто. У нас уже есть готовая конструкция 5x−2{{5}^{x-2}}. Следовательно, при возведении ее в квадрат, мы должны перемножить степенные показатели:

5x−2=5(x−2)2=52x−4

{{5}^{x-2}}={{5}^{(x-2)2}}={{5}^{2x-4}}

Именно в этом состоит тактика решения показательных уравнений, основания степеней в которых неодинаковые, в нашем случае это 5 и 25.

Еще раз: чтобы там не стояло в показателе старшего элемента, мы должны преобразовать его таким образом, чтобы получился удвоенный показатель младшего элемента. И тогда, как мы уже убедились, получится красивое квадратное показательное уравнение, которое легко решается. Давайте его решим.

Очевидно, поскольку перед t2{{t}^{2}} стоит 5, это уравнение не является приведенным, поэтому решать мы его будем через дискриминант. Итак, дискриминант равен:

D=144−4⋅5⋅7=4

D=144-4\cdot 5\cdot 7=4

Корень равен 2. Находим tt:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}\text{=}\frac{12+2}{10}=\frac{7}{5} \\{{t}_{2}}=\frac{12-2}{10}=\text{ }1 \\\end{array}\]

Итак, мы получили корни квадратного уравнения: 75\frac{7}{5} и 1. Теперь возвращаемся к нашему исходному выражению и вспоминаем, что t=5x−2t={{5}^{x-2}}:

5x−2=15x−2=50x−2=0x=2

\begin{align}& {{5}^{x-2}}=1 \\& {{5}^{x-2}}={{5}^{0}} \\& x-2=0 \\& x=2 \\\end{align}

Подставляем второй корень:

5x−2=75

{{5}^{x-2}}=\frac{7}{5}

Вспомним формулу:

a=blogba

a={{b}^{{{\log }_{b}}a}}

Другими словами, мы можем переписать наше показательное уравнение следующим образом:

5x−2=5log575

{{5}^{x-2}}={{5}^{{{\log }_{5}}\frac{7}{5}}}

Почему мы выбрали основание именно 5? Потому что у нас слева стоит 5x−2{{5}^{x-2}}, т. е. основание у нас задается самим уравнением. Теперь мы можем избавиться от 5:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

x-2={{\log }_{5}}\frac{7}{5} \\x={{\log }_{5}}\frac{7}{5}+2={{\log }_{5}}\frac{7}{5}+{{\log }_{5}}25 \\x={{\log }_{5}}35 \\\end{array}\]

Вот наши два ответа: 2 и log535.

{{\log }_{5}}35

Мы решили первую часть задачи и нашли корни. Теперь из этих корней нам нужно отобрать те, которые принадлежат интервалу \[\left( 2;\frac{8}{3} \right)\].

 Для этого давайте для начала перепишем значения, входящие в сам интервал. Дело в том, что 83\frac{8}{3} — это дробь, поэтому из нее нужно выделить целую часть. Интервал будет выглядеть следующим образом:

x∈(2;223)

x˜\in \left( 2;2\frac{2}{3} \right)

Из двух корней, 2 и log535, нам нужно выбрать такие числа, которые принадлежат нашему интервалу. В первую очередь, давайте сразу заметим, что x=2x=2 не принадлежит нашему интервалу:

x∉(2;223)

x\notin \left( 2;2\frac{2}{3} \right)

Потому что, с одной стороны, 2 является концом интервала, но, с другой стороны, поскольку скобки круглые, сама 2 не принадлежит этому интервалу.

Остается лишь один корень log535. Разумеется, поскольку это один единственный ответ нашего показательного выражения, то у нас есть все основания полагать, что он лежит на данном интервале, однако если мы не обоснуем это утверждение, то проверяющие снимут из нас 1 балл. Другими словами, нам нужно доказать, что число log535 лежит на нашем интервале. Но проблема в том, что мы не знаем, чему равен log535. И как поступать в таком случае? Сейчас внимание! Я расскажу вам четкий пошаговый алгоритм, который часто требуется применять в задачах С1, С3 и С5 из ЕГЭ по математике, т. е. всех алгебраических задачах части С.

Пошаговый алгоритм решения задач

Итак, нам нужно узнать, чему хотя бы примерно равен log535. Прежде всего, давайте рассмотрим значения вида

log551

{{\log }_{5}}{{5}^{1}}

log552

{{\log }_{5}}{{5}^{2}}

log553

{{\log }_{5}}{{5}^{3}}

Мы просто перебираем 5 натурального степенного значения. Получим:

log551=log55

{{\log }_{5}}{{5}^{1}}={{\log }_{5}}5

log552=log525

{{\log }_{5}}{{5}^{2}}={{\log }_{5}}25

log553=log5125

{{\log }_{5}}{{5}^{3}}={{\log }_{5}}125

Разумеется, можно было бы выписать больше, но нам важно понять, между какими числами видами 5, 25 и 125, лежит наше исходное 35. Очевидно, оно лежит между 25 и 125. Следовательно, log535 будет лежать между

log525

{{\log }_{5}}25 и

log5125

{{\log }_{5}}125. Также мы можем посчитать показательное выражение:

log552=2

{{\log }_{5}}{{5}^{2}}=2

log553=3

{{\log }_{5}}{{5}^{3}}=3

Отсюда заключаем, что

˜2<log535<3

˜2<{{\log }_{5}}35<3.

Но легче нам не стало, потому что, с одной стороны логарифм от 2 до 3, а, с другой стороны, нужно, чтобы он лежал на промежутке (2;223)\left( 2;2\frac{2}{3} \right), т. е. то, что логарифм лежит на промежутке от 2 до 3, нам не помогает. Поэтому переходим к следующему шагу и начинаем рассматривать половинки, значения вида 1,5; 2,5; 3,5. Давайте посмотрим: возьмем среднее арифметическое чисел 2 и 3 и возводим 5 в степень этого среднего арифметического:

log552+32=log552,5=log552 ⋅ 512=log5255

{{\log }_{5}}{{5}^{\frac{2+3}{2}}}={{\log }_{5}}{{5}^{2,5}}={{\log }_{5}}{{5}^{2}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\text{5}}^{\frac{\text{1}}{\text{2}}}}={{\log }_{5}}25\sqrt{5}

А теперь нам нужно понять, что больше

255

25\sqrt{5} или 35. Давайте сравним их:

35⋃255|:5

35\bigcup 25\sqrt{5}|:5

7⋃55↑2

7\bigcup 5\sqrt{5}\uparrow 2

49⋃25⋅5

49\bigcup 25\cdot 5

49<125

49<125

Здесь уже очевидно, что 49 меньше, чем 125. Следовательно,

log535<log5255

{{\log }_{5}}35<{{\log }_{5}}25\sqrt{5}

Что мы получаем? Новое вычисление, новое ограничение:

˜2<log535<2510

˜2<{{\log }_{5}}35<2\frac{5}{10}

Тут уже все замечательно, потому что

2<log535<2510<223

2<{{\log }_{5}}35<{{2}^{5}}10<2\frac{2}{3}

Это обоснованное решение. Мы доказали, что

=log535

={{\log }_{5}}35 после отбора с учетом ограничений.

Еще раз, это очень важный шаг. Когда у нас есть логарифм по какому-то нормальному основанию, но от числа, которое не считается, т. е. не является точным показателем основания, мы сначала рассматриваем целые значения и находим, между степенями каких чисел лежит наше число. В нашем случае получилось, что

log535

{{\log }_{5}}35 будет лежать между

log525

{{\log }_{5}}25 и

log5125

{{\log }_{5}}125, и мы получили такое неравенство

2<log535<3

2<{{\log }_{5}}35<3

Однако зачастую показательные задачи составлены так, что этого ограничения недостаточно. В этом случае мы начинаем рассматривать не натуральные числа, а дроби, стоящие посередине, между этими натуральными значениями, т. е. числа вида 1,5; 2,5; 3,5…В этом случае при возведении основания, т. е. 51,5{{5}^{1,5}} или 52,5{{5}^{2,5}}, у нас, естественно, получаются корни, которые потом придется сравнивать при помощи галочки неизвестности. Однако не стоит переживать, это сравнение не вызывает каких-либо сложностей, и после небольшой тренировки сравнивать корни таким образом сможет даже неподготовленный ученик. В результате мы получили уточненное ограничение, которое уже точно даст нам понять, принадлежит ли наш корень данному интервалу или не принадлежит.

Обратите внимание, более глубокого разделения, т. е. уже на четверти, а не на половинки в реальной части С ЕГЭ по математике я не видел ни разу, т. е. шага выписывания половинок уже будет достаточно. Более сложное задание на настоящем ЕГЭ по математике вам точно не попадется. Вот и все, получив уточненное ограничение, вы уже сможете обоснованно утверждать, что данный корень принадлежит указанному интервалу. И, следовательно, является ответом ко второй части задачи. Вы получите два балла из двух возможных на ЕГЭ по математике. Так что обязательно изучите этот прием. Он будет очень полезен не только в задачах С1 в ЕГЭ по математике, но также и в задачах С3 и С5.

Ключевые моменты

На примере этой задачи C1из ЕГЭ по математике хочу прояснить сразу два принципиально важных моментов:

Если вы видите, что уравнение сводится к квадратному, то старайтесь обозначать новой переменной степенное выражение с наименьшим показателем. Это избавит вас от возникновения дробей в дальнейших вычислениях и значительно упростит итоговое решение;

Если при решении показательного уравнения возник «некрасивый логарифм» (в нашем случае это

log535

{{\log }_{5}}35), для получения его примерного значения сначала считайте натуральные степенные показатели:

log551

{{\log }_{5}}51;

log552

{{\log }_{5}}52; log553{{\log }_{5}}{{5}^{3}} ... Если же этих ограничений окажется недостаточно, начинайте перебирать числа, стоящие посередине между соседними натуральными:

log551,5

{{\log }_{5}}{{5}^{1,5}};

log552,5

{{\log }_{5}}{{5}^{2,5}};

log553,5

{{\log }_{5}}{{5}^{3,5}}.

Смотрите также:
  1. Задача C1: еще одно показательное уравнение
  2. Логарифмические уравнения в задаче C1
  3. Системы линейных уравнений: основные понятия
  4. Площадь круга
  5. Задачи B6 с монетами
  6. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов