Задача B5: метод узлов

3 октября 2013

Сегодня мы научимся считать площади фигур в задаче B5 методом узлов. Для начала введем два определения:

  1. Внутренние узлы — это все узлы нашей координатной сетки, которые оказались внутри закрашенной фигуры;
  2. Граничные узлы — это такие узлы координатной сетки, которые лежат на границе рассматриваемой фигуры.

Давайте посмотрим, как эти узлы выглядят на конкретной фигуре в задаче B5 из ЕГЭ по математике:

Задача. Найдите площадь четырехугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Внутренние и граничные узлы в задаче B5

Крестиками обозначены внутренние узлы. Очевидно, их количество n = 3. Кружками обозначены граничные узлы. Их общее количество равно k = 11.

Обратите внимание: под узлами подразумеваются только те точки, которые лежат на пересечении горизонтальных и вертикальных линий нашей сетки. Другими словами, следующие две точки не являются узлами, хотя в них граница фигуры также пересекается с линиями сетки:

Красными кружками отмечены те элементы, которые не являются узлами

Переходим к решению задачи. Для того, чтобы решать задачи B5 ЕГЭ по математике методом узлов, вам потребуется запомнить следующую теорему:

Пусть дана фигура с n внутренними узлами и k граничными узлами. Тогда площадь этой фигуры S считается по формуле:

S = n + 0,5k − 1

Вот так все просто! Главное — запомните, что n — это число внутренних узлов, а k — число граничных узлов.

В нашем случае мы уже подсчитали, что n = 3, k = 11. Подставляем полученные числа в формулу и получаем:

S = 3 + 0,5 · 11 − 1 = 3 + 5,5 − 1 = 7,5

Вот и все решение! Мы получили ответ: площадь четырехугольника равна 7,5. Как видите, задача свелась практически к устному счету. Поэтому обязательно возьмите данный прием на вооружение, ведь велика вероятность того, что на настоящем ЕГЭ по математике вам попадется именно такая задача B5 — площадь фигур на координатной сетке.

Смотрите также:
  1. Опасные ошибки в задачах на площади
  2. Метод узлов в задаче B5
  3. Решение квадратных уравнений
  4. Теорема Виета
  5. Тригонометрические функции
  6. Задача B5: площадь закрашенного сектора