Метод узлов в задаче B5

5 марта 2012

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема. На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

Узел координатной стеки — это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.

Обозначение:

Узлы на координатной сетке

На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.

Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:

Теорема. Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:

Площадь многоугольника по узлам

где n — число узлов внутри данного многоугольника, k число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).

В качестве примера рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.

Треугольник: внутренние и граничные узлы

На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно n = 10. На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего k = 6.

Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа n и k. Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника — замкнутая ломаная, которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются три линии:

  1. Собственно, ломаная;
  2. Горизонтальная линия координатной сетки;
  3. Вертикальная линия.

Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.

Задача. Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:

Треугольник на координатной сетке

Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:

Отмечены внутренние и граничные узлы треугольника

Получается, что внутренний узел всего один: n = 1. Граничных узлов — целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника, а еще три лежат на сторонах. Итого k = 6.

Теперь считаем площадь по формуле:

Площадь треугольника равна 3

Вот и все! Задача решена.

Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Четырехугольник на координатной сетке

Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего n = 2. Граничных узлов: k = 7, из которых 4 являются вершинами четырехугольника, а еще 3 лежат на сторонах.

Внутренние и граничные узлы четырехугольника

Остается подставить числа n и k в формулу площади:

Площадь четырехугольника равна 4,5

Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.

Важное замечание по площадям

Но формула — это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю. Получим:

Формула площади, приведенная к общему знаменателю

Числа n и k — это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:

Площадь всегда выражается целым числом или дробью. Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»: 10,5; 17,5 и т.д.

Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью вида ***,5. Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!

Смотрите также:
  1. Задача B5: метод узлов
  2. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  3. Решение квадратных уравнений
  4. Радианная и градусная мера угла
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 6 вариант
  6. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора