Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)

B1

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой:

При каком наименьшем значении температуры нагревателя T₁ КПД этого двигателя будет не менее 60%, если температура холодильника T₂ = 400?

B2

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:

где m₀ (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада.

В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m₀ = 60 мг изотопа золота, период полураспада которого T = 15 мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не менее 15 мг?

B3

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:

где σ = 5,7 · 10⁻⁸ — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.

Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/256) · 10¹³ м², а излучаемая ею мощность P не менее 9,12 · 10²² Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

B4

При температуре 0 °С рельс имеет длину l₀ = 10 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 3 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону:

l(t) = l₀ · (1 + a · t)

где a = 1,2 · 10⁻⁵ (°C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия.

B5

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:

где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 5 м — начальная высота столба воды, k = 1/800 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g = 10 м/с² — ускорение свободного падения.

К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть первоначального объема воды? Ответ выразите в секундах.

B6

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур дается выражением:

T(t) = T₀ + bt + at²

где T₀ = 1400 К, a = −50 К/мин, b = 400 К/мин².

Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

B7

Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полета камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой:

y = ax² + bx

где a = −1/100 м⁻¹, b = 1 — постоянные параметры, x — расстояние от машины до камня, считаемое по горизонтали, y — высота камня над землей.

На каком наименьшем расстоянии от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни пролетали над ней на высоте не менее 1 метра? Ответ выразите в метрах.

B8

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R = 50 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в Омах) наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 25 Ом.

При этом известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R_x и R_y их общее сопротивление дается формулой:

B9

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле:

h = −5t²

где t измеряется в секундах, а h — в метрах.

До дождя время падения камушков составляло 0,6 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,1 секунды? Ответ выразите в метрах.

B10

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна:

где ε — ЭДС источника (в вольтах), r = 2 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в Омах).

При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания I_кз = ε/r? Ответ выразите в Омах.

B11

Операционная прибыль предприятия в краткосрочном периоде вычисляется по формуле:

π (q) = q(p − v) − f.

Компания продает свою продукцию по цене p = 600 руб. за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб. за штуку, постоянные расходы предприятия f = 700 000 руб. в месяц.

Определите наименьший месячный объем производства q (шт.), при котором прибыль предприятия будет не менее 500 000 руб. в месяц.

B12

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч², вычисляется по формуле:

Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 километра, приобрести скорость не менее 160 км/ч. Ответ выразите в км/ч².