Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B

10 августа 2011

Предлагаю вашему вниманию решение настоящего варианта ЕГЭ-2011 по математике, который сдавали 6 июня. Здесь представлена только часть B — часть C будет разобрана отдельно. Изначально я хотел опубликовать их вместе, но информации оказалось так много, что лучше разбить ее на «порции».

По словам моих учеников, самыми тяжелыми оказались задачи B4, B9 и B12. Напротив, задачи B7 и B11, которые традиционно считаются сложными, решались без проблем. Задача B5, в которой надо много считать, вообще не вызвала ни у кого затруднений.

Задача. Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 68 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км)

Пусть спидометр показывает скорость x миль/ч. Имеем:
1 миля/ч — это 1,6 км/ч
x миль/ч — это 68 км/ч

Составим пропорцию:

Решение задачи B1 - пропорция

Задача. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какого числа выпало ровно 1,5 мм осадков.

Задача B2 - дискретный график функции

Если провести горизонтальную прямую на уровне 1,5 мм, то найдется ровно одна точка, лежащая на этой прямой. Эта точка — 15 декабря.

Решение задачи B2 - нахождение точки

Задача. Решите уравнение:

Задача B3 - иррациональное уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
60 − 3x = 36 ⇒ −3x = −24 ⇒ x = 8

Проверять корень на ОДЗ здесь не требуется, поскольку в уравнении присутствует лишь один радикал, и за его пределами переменных нет.

Задача. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Угол C равен 62°, угол CAD равен 32°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Задача B4 - биссектриса в треугольнике

Поскольку AD — биссектриса, BAD = ∠CAD = 32°.

Тогда BAC = ∠BAD + ∠CAD = 32° + 32° = 64°.

Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, имеем:
∠BAC + ∠B + ∠C = 180° ⇒ 64° + ∠B + 62° = 180° ⇒ ∠B = 180° – 62° – 64° = 54°.

Задача. Строительной фирме надо приобрести 50 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

ПоставщикСтоимость
пенобетона
(руб. за 1 м2)
Стоимость
доставки
в рублях
Дополнительные
условия
А35009900(нет)
Б45007000При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В36007900При заказе на сумму больше 200 000 руб. доставка бесплатно

Найдем стоимость покупки для каждого поставщика.

Поставщик A:
50 · 3500 + 9900 = 184 900. Доставка всегда платная.

Поставщик Б:
50 · 4500 = 225 000. Но 225 000 > 150 000, значит доставка — бесплатно.

Поставщик В:
50 · 3600 = 180 000. 180 000 < 200 000, значит, доставка платная. Итого: 180 000 + 7900 = 187 900.

Минимальная цена — у первого поставщика. 184 900 рублей.

Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задача B6 - площадь выпуклого многоугольника

Обведем треугольник в квадрат так, как показано на рисунке:

Решение задачи B6 - описанный квадрат и разбиение на треугольники

Площадь большого квадрата: 4 · 4 = 16;
Площадь верхнего треугольника: 0,5 · 1 · 4 = 2;
Площадь нижнего треугольника: 0,5 · 4 · 4 = 8;
Искомая площадь: S = 16 − 2 − 8 = 6.

Конечно, можно найти площадь намного проще, без вписывания треугольника в квадрат, но такой подход не универсален. Зато предложенный выше — универсален и работает для всех выпуклых фигур.

Задача. Найдите cos α, если известно следующее:

Задача B7 - ограничения на синус и на угол

Поскольку α ∈ (0; π/2), это первая координатная четверть, где все синусы и косинусы положительны.

Основное тригонометрическое тождество:

Основное тригонометрическое тождество

Мы взяли положительный корень, потому что косинус в первой координатной четверти положителен.

Задача. На рисунке изображен график функции f(x) и касательная к этому графику в точке x0. Найдите значение производной этой функции в точке x0.

Задача B8 - график функции и касательная к нему в точке x0

Рассмотрим две точки: A = (−5; −6) и B = (0; −3);

Эти точки лежат на касательной. Дальше все просто:
Δx = 0 − (−5) = 5;
Δy = −3 − (−6) = 3;
D = Δy/Δx = 3/5 = 0,6.

Задача. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 64 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого?

Основная формула: Vновое = Vстарое · a · b · c;

Поскольку объем не меняется, Vновое = Vстарое. Сокращаем — получаем: 1 = a · b · c.

Но b = c = 4 — пусть эти буквы отвечают за оси X и Y. Имеем: a · 4 · 4 = 1, т.е. a = 1/16.

Итак, по оси Z размер уменьшится в 16 раз. Изначально он был равен 64. Получаем: Z = 64 : 16 = 4.

Задача. В ходе распада радиоактивного вещества изотопа его масса уменьшается по закону:

Задача B10 - показательная функция

где m0 — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m0 = 400 мг. Период его полураспада T = 5 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг?

Это задача с функцией. Известны следующие величины:
m0 = 400; T = 5; m(t) = 25.

Подставляем — получаем обычное показательное уравнение:

Задача B10 - решение показательного уравнения

Задача. Найдите наибольшее значение функции y = x3 + 7x2 + 8x − 8 на отрезке [−6; −3].

Для начала найдем производную: y’ = 3x2 + 14x + 8.

Найдем нули производной: y’ = 3x2 + 14x + 8 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −2/3 или x = −4.

Поскольку корень x = −2/3 не лежит на отрезке [−6; −3], нас интересует только x = −4.

Итак, у нас есть три точки: −6; −4; −3. Первые две являются концами отрезка, последняя — нулем производной и, следовательно, кандидатом на экстремум. Вычислим значение функции в каждой из них:
y(−6) = −20; y(−3) = 4; y(−4) = 8;

Требуется выбрать наибольшее — это число 8.

Задача. Лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт Б, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте Б 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения равна 1 км/ч.

Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч. Тогда по течению она идет со скоростью (x + 1) км/ч, против течения — со скоростью (x − 1) км/ч.

Всего лодка была в пути 19 − 9 = 10 часов. Но из этих 10 часов она 2 часа стояла в пункте Б, поэтому реально в пути она была только 10 − 2 = 8 часов.

Расстояние между пунктами по течению лодка пройдет за 15/(x + 1) часов, а против течения — за 15/(x − 1) часов. В сумме эти промежутки времени как раз дают 8 часов. Поэтому составим и решим уравнение:

Задача B12 - решение текстовой задачи на движение

15x · 1 = 4 · (x2 − 1) ⇒ 4x2 − 15x − 4 = 0

Последнее квадратное уравнение имеет два корня: x = 4 и x = −0,25. Но скорость не может быть отрицательной, поэтому ответ 4.

Вот и все. Это была часть B. Часть C — на подходе.

Смотрите также:
  1. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
  2. Что такое ЕГЭ по математике 2011 и как его сдавать
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 6 (без производных)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 4 вариант
  6. Задача B5: площадь фигуры без клеток