Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!
1. Ключевые определения
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:
Мы видим, что острый угол $\alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $\alpha $, назовём противолежащим:
Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.
1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс
Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $.
Тогда:
Определение 1. Синус угла $\alpha $ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).
Рассмотрим пару примеров.
Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $\alpha $.
Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $\alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.
Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.
Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:
Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)
1.2. Задачи для тренировки
Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.
Задача 3. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $.
Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?
2. Теорема о единственности
Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $\alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.
Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.
2.1. Формулировка теоремы
Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.
2.2. Доказательство
Рассмотрим произвольный острый угол $\alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:
А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:
А можно и вот так — это не имеет никакого значения:
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы \[\angle ABC=\angle AMN=90{}^\circ \] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:
\[\Delta ABC\sim \Delta AMN\]
Из подобия треугольников следует двойное равенство
\[\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AN}\]
Выпишем второе равенство — получим пропорцию
\[\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AN}\]
Попробуем выразить $\sin \alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому
\[BC\cdot AN=MN\cdot AC\]
Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:
\[\begin{align}\sin BAC &=\frac{BC}{AC} \\ \sin MAN &=\frac{MN}{AN} \\ \end{align}\]
Получается, что $\sin BAC=\sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $\alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $\sin \alpha $.
То же самое касается и $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $ и $\operatorname{ctg}\alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $\alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.
3. Стандартные углы
Итак, значения $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $ и $\operatorname{ctg}\alpha $ однозначно определяются величиной угла $\alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.
Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:
Для большинства углов $\alpha $ нельзя найти точные значения $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname{tg}\alpha $.
Верно и обратное: для большинства «красивых» $\sin \alpha $, $\cos \alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $\alpha $.
Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.
3.1. Три стандартных угла
Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:
Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $\alpha =45{}^\circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:
Поскольку в равнобедренном треугольнике $\angle A=\angle B=45{}^\circ $, получим:
Это именно те значения, которые указаны в таблице!
Теперь разберёмся с углами $\alpha =30{}^\circ $ и $\alpha =60{}^\circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:
Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $\angle ABH=\angle CBH=30{}^\circ $.
Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=\sqrt{3}$. Нанесём все данные на чертёж:
Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!
Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $\sin {50}^\circ $? Или, быть может, $\cos {10}^\circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.
Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?
3.2. Что с другими углами?
Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:
Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $\alpha $:
Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $\alpha $, чтобы $\sin \alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $\alpha $? Ответ: неизвестно.:)
Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $\alpha $, чтобы $\sin \alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.
Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:
Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.
Ещё раз:
Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.
Например, $\sin 30{}^\circ $, $\cos 45{}^\circ $, $\operatorname{tg}60{}^\circ $ и т.д. А всякие $\sin 15{}^\circ $, $\cos 25{}^\circ $ или $\operatorname{tg}89,5{}^\circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)
И наоборот:
Зная $\sin \alpha $, $\cos \alpha $ или $\operatorname{tg}\alpha $, мы сможем назвать точный угол $\alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.
Например, мы точно знаем, что если $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\alpha =45{}^\circ $. Но когда $\sin \alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $\alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).
С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.
4. Свойства синуса, косинуса, тангенса
Мы разберём три ключевых свойства:
Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
Основное тригонометрическое тождество.
Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.
4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:
Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $\angle A=\alpha $, то угол $\angle B=90{}^\circ -\alpha $. Но тогда:
Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $\cos \alpha ={4}/{9}\;$. Остаётся сделать финальный шаг:
\[18\cos \alpha =18\cdot \frac{4}{9}=2\cdot 4=8\]
Вот и всё! Ответ: 8.
В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.
Задача 8. Найдите $48\operatorname{tg}\alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\cos \alpha =\frac{8}{\sqrt{113}}$.
Заметка на будущее: замечание о том, что угол $\alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.
Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.
Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.
Задача 9. ►
Найдите $52\cos \alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\sin \alpha =\frac{5}{13}$.
Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.
Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.
Звучит страшно, но на практике всё легко.:)
Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:
Решение. Дополнительное построение: $AH\bot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.
Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому
Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.
Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.
Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:
Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.
Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.
Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.
Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:
Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:
Задача 14. ►
Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:
Решение.
Дополнительное построение: отрезок $DH$.
Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $\operatorname{tg}DEF=1$.
Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:
Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.
К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:
И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):
Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)
