Сегодняшний видеоурок — один из ключевых в курсе тригонометрии. Мы расширим классическое определение синуса, косинуса и тангенса на произвольные углы (в т.ч. отрицательные), а введем новое определение — радианную меру угла.
Сегодня мы поговорим о такой теме, которая волнует всех учеников 8-9 классов, когда они начинают изучать серьезную взрослую тригонометрию. Речь идет о радианной мере угла, а также о переводе из радианной в градусную меру угла и обратно. Но, прежде чем мы начнем решать какие-то задачи на вычисления радианной меры, мне хотелось бы вспомнить старое определение, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.
Давайте нарисуем прямоугольный треугольник, назовем его
, причем CC будет прямым:
Угол AA будет равен α\alpha градусов. В этом случае, как вы помните из школьного курса геометрии, синус, косинус и тангенс будут одинаковые:
sinα=BCAB
\sin \alpha =\frac{BC}{AB}
cosα=ACAB
\cos \alpha =\frac{AC}{AB}
tgα=BCAC
tg\alpha =\frac{BC}{AC}
Как видите, классическое определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса завязано на прямоугольном треугольнике, и α\alpha в любом случае должен быть больше 0º и меньше 90º.
Несмотря на это, возникла необходимость расширить определение тригонометрических функций за пределы этого интервала от 0º до 90º. Как это происходит, и какие возникают при этом эффекты — вот сейчас об этом и поговорим.
Для начала давайте рассмотрим координатную плоскость: проведем оси xx, yy, а также построим единичную окружность с центром в начале координат:
Небольшое уточнение в терминологии, что значит единичная окружность? Все очень просто. Это означает, что ее радиус равен строго 1. Другими словами, она проходит через точку (1; 0), а также (0; 1). И через две остальные точки эта окружность также проходит. Теперь нам нужно пустить от начала координат луч вдоль оси OxOx. Речь идет о положительном направлении оси OxOx. Затем мы отметим α\alpha в направлении xx к yy. Разумеется, этот луч пересечет наш круг в неком значении, давайте обозначим его точкой BB. А начало координат обозначим точкой AA. Проведем из BB высоту к оси абсцисс xx. Мы получим CC. Вот мы снова получили тот же самый прямоугольный треугольник ABCABC с углом α\alpha , вершина которого совпадает с началом координат.
Теперь давайте перепишем синус, косинус и тангенс с учетом всех изменений для красного треугольника. Запишем:
sinα=BCAB
\sin \alpha =\frac{BC}{AB}
Все то же самое. Однако заметим, что BB лежит уже не в каком-то неопределенном пространстве, она имеет какие-то координаты, поскольку лежит в плоскости OxyOxy. Пусть ее координаты будут (x;y)\left( x;y \right). Мы не знаем точно, чему они равны, потому что не знаем угол α\alpha . В таком случае длина отрезка BCBCравняется yy, т. е. ординате точки BB. Вместо BCBC мы можем записать yy, а вместо ABAB — 1. ABAB — это тот же самый радиус нашего круга, а радиус — 1. Записываем:
sinα=BCAB=yr=y
\sin \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{y}{r}=y
Таким образом, мы можем записать, что sinα\sin \alpha на самом деле равен ординате конца подвижного радиуса. Вот именно эту фразу чаще всего встречают ученики в школьных учебниках по математике. Поэтому, прежде чем двинемся дальше, давайте еще раз внимательно посмотрим на треугольник ABCABC и, в частности, на BB.
Мы провели еще одну высоту, назовем ее BC1B{{C}_{1}}. Что можно сказать про C1{{C}_{1}}, точнее, про отрезок AC1A{{C}_{1}} — это координата у BB. С другой стороны, отрезок ACAC, т. е. расстояние от AA до CC — это координата xx точки CC и, соответственно, xx точки BB. Нам несложно будет доказать, что отрезки BCBC и AC1A{{C}_{1}} равны. Тогда мы можем утверждать, что и отрезок ABAB тоже равен yy. Таким образом, с синусом мы разобрались. Действительно, синус угла α\alpha равен ординате конца подвижного радиуса, проведенного в точку BB. Теперь давайте запишем те же самые выражения для косинуса и тангенса.
Это отношение прилежащего катета (в нашем случае это катет ACAC) к гипотенузе (у нас ABAB). Но что такое ACAC? Только что мы убедились, что ACAC — это абсцисса, т. е. координата xx. А ABAB — это тот же самый радиус, т. е. 1. Запишем:
cosα=ACAB=xr=x
\cos \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{x}{r}=x
Теперь разбираемся с tgαtg\alpha . Тут все еще проще. Что такое тангенс? Это отношение противолежащего катета (а нашем случае это BCBC) к прилежащему катету (в нашем случае это ACAC). Запишем:
tgα=BCAC=yx
tg\alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{y}{x}
Таким образом, tgtg — это отношение ординаты к абсциссе конца подвижного радиуса.
И в этот момент многие ученики наверняка спросят: «А зачем вообще вся эта сложность?». В данном случае когда BB просто задается пересечением луча с окружностью, мы можем отложить любой угол α\alpha . Теперь никаких ограничений на обозначение α\alpha не накладывается. Он не обязан быть углом пределах от 0º до 90º.
Теперь, когда мы разобрались с основными определениями тригонометрических функций, перейдем непосредственно к сегодняшней теме урока.
Для начала давайте рассмотрим угол в 180º. Тогда наш луч поддет в противоположном направлении. Точка В в нашем треугольнике высекает определенную дугу окружности. Назовем ее дуга BCBC. Ее легко посчитать по формуле длины окружности:
l=2πr
l=2\pi r
π ˜3,14
\pi \tilde{\ }3,14. Но сейчас нас это не интересует. Поскольку наша окружность всегда имеет фиксированный радиус 1, то длина будет равна:
l=2π
l=2\pi
Однако 2π2\pi — это вся окружность, т. е. полный оборот. А мы если отступим на 180º, то получим только ее половину. Следовательно, дуга окружности будет равна:
l(180o)=2π2=π
l\left( 180{}^\text{o} \right)=\frac{2\pi }{2}=\pi
И вот тут возникает замечательный эффект. Дело в том, что один и тот же угол α\alpha мы можем обозначать как за 180º, т. е. использовать стандартную меру угла (а не радианную), так и длинной вот этой дуги, т. е. мы можем поставить углу α\alpha соответствующее число π\pi . Так вот это число π\pi , т. е. другими словами, угол, измеренный не в градусах, а в длине дуги, которую этот угол высекает. Называется это радианная мера угла и обозначается π\pi - радиан.
Сегодня же для того чтобы начать решать задачи на радианную меру и считать значение тригонометрических функций, просто запомните, что π\pi рад = 180º. Другими словами, если вам непривычно работать с радианными значениями, то везде, где вы видите в синусах, косинусах и тангенсах конструкцию π\pi , вы можете смело заменить это π на 180º и перейти к знакомой градусной от радианной меры. Давайте попробуем и сосчитаем первое выражение и найдем радианную меру:
sin π 4cos π 6tg π 3=2√2⋅3√2⋅3√=32√4\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}tg\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{2}}{4}
Давайте выпишем отдельно каждую из этих функций:
sin π 4=sin180∘4=sin45∘=2√2\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=\sin \frac{180{}^\circ }{4}=\sin 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}
cos π 6=cos180∘6=cos30∘=3√2\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\cos \frac{180{}^\circ }{6}=\cos 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}
tg π 3=tg180∘3=tg60∘=3√tg\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=tg\frac{180{}^\circ }{3}=tg60{}^\circ =\sqrt{3}
Теперь записываем все три множителя в единую конструкцию для нахождения радианного значения. Вот и все, мы получили ответ.
Переходим ко второму выражению и найдем радианную меру:
cos π 3sin π 4ctg π 6=12⋅2√2⋅3√=6√4\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}ctg\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{4}
Опять записываем каждую функцию отдельно:
cos π 3=cos60∘=12\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=\cos 60{}^\circ =\frac{1}{2}
sin π 4=sin45∘=2√2\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=\sin 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}
ctgπ6=ctg30∘=3√ctg\frac{\pi }{6}=ctg30{}^\circ =\sqrt{3}
Опять собираем все полученные числа.
Как видите, ничего сложно в радианных мерах угла нет. Если эта тема покажется вам слишком сложной, просто запомните, что π\pi рад = 180º, и везде, где вы видите π\pi , можете смело писать 180º.
Еще одним важным следствием нового определения тригонометрического круга является то, что синус, косинус и тангенс могут быть отрицательными. Если раньше все сводилось к длинам катетов и гипотенузы, то теперь перед нами абсциссы и ординаты некой точки. При этом помните, что откладывание угла всегда идет в направлении от оси OxOx к оси OyOy, причем идет речь именно о положительных направлениях этих осей.
Чтобы понять и навсегда запомнить, где находится положительное направление оси, просто помните правило: туда, куда указывает стрелка при х и при у, это и есть то самое положительное направление оси.
Вот это и все, о чем я хотел рассказать в сегодняшнем видеоуроке о радианных мерах. Если вы что-то не поняли, или если этот материал показался вам слишком сложным, то пересмотрите его еще раз, попробуйте выполнить всю последовательность вычислений на нахождения радианных значений, которую мы сегодня выполнили на уроке.
