Формула Грассмана

Формула Грассмана связывает размерности подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

Формулировка Теоремы

Пусть $U$ и $W$ — подпространства в конечномерном линейном пространстве $L$. Тогда

\[\dim\left( U+W \right)=\dim U+\dim W-\dim\left( U\cap W \right)\]

Доказательство

Обозначим размерности подпространств: $\dim U=s$, $\dim W=t$. Поскольку $U$ и $W$ — подпространства, $U\cap W$ — тоже подпространство. Обозначим его размерность $\dim\left( U\cap W \right)=k$. Очевидно, что $k\le s$ и $k\le t$.

Выберем в подпространстве $U\cap W$ произвольный базис $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}} \right\}$. Поскольку $U\cap W\subseteq U$, дополним базис $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}} \right\}$ до базиса $U$ векторами $\left\{ {{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}} \right\}$:

\[\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}},{{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}} \right\}\]

и до базиса $W$ векторами $\left\{ {{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}} \right\}$:

\[\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}},{{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}} \right\}\]

Теперь рассмотрим систему векторов

\[\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}},{{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}},{{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}} \right\}\]

Количество векторов в этой системе равно

\[\begin{align}& k+\left( s-k \right)+\left( t-k \right)= \\ =&s+t-k= \\ =&\dim U+\dim W-\dim\left( U\cap W \right) \\ \end{align}\]

Докажем, что эта система — базис подпространства $U+W$. Для этого надо проверить их линейную независимость и максимальность.

Начнём с линейной независимости. Рассмотрим линейную комбинацию

\[\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{g}_{i}}}=0\]

Покажем, что это возможно только при

\[\begin{align}{{\alpha }_{1}}&=\ldots ={{\alpha }_{k}}=0 \\ {{\beta }_{1}}&=\ldots ={{\beta }_{s-k}}=0 \\ {{\gamma }_{1}}&=\ldots ={{\gamma }_{t-k}}=0 \\ \end{align}\]

Для этого перенесём слагаемые, отвечающие за векторы ${{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}}$, вправо от знака равенства:

\[\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}=-\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{g}_{i}}}\]

Сумма слева — это разложение некоторого вектора $v$ по базису подпространства $U$:

\[v=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}\in U\]

С другой стороны, вектор $v$ равен сумме справа, которая принадлежит подпространству $W$:

\[v=-\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{g}_{i}}}\in W\]

Следовательно, вектор $v\in U\cap W$, и его можно однозначно разложить по базису $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}} \right\}$:

\[v=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}}\]

Добавим к этой записи векторы $\left\{ {{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}} \right\}$ с нулевыми коэффициентами и получим разложение вектора $v$ по базису подпространства $U$:

\[v=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{0\cdot {{f}_{i}}}\]

Но у нас уже есть такое разложение:

\[v=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}\in U\]

В силу однозначности разложения вектора по базису получаем

\[{{\beta }_{1}}=\ldots ={{\beta }_{s-k}}=0\]

Аналогично доказывается, что

\[{{\gamma }_{1}}=\ldots ={{\gamma }_{t-k}}=0\]

Но тогда исходная линейная комбинация сведётся к простой записи

\[\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}=0\]

Это линейная комбинация векторов $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}} \right\}$ — базиса $U\cap W$. Она равна нулю только в тривиальном случае:

\[{{\alpha }_{1}}=\ldots ={{\alpha }_{k}}=0\]

Следовательно, исходная линейная комбинация тривиальна.

Теперь покажем, что любой вектор $v\in U+W$ можно разложить по векторам ${{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}}$, ${{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}}$, ${{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}}$. По определению суммы подпространств, такой вектор $v$ имеет вид:

\[v={{v}_{1}}+{{v}_{2}},\quad {{v}_{1}}\in U,\quad {{v}_{2}}\in W\]

Разложим векторы ${{v}_{1}}$ и ${{v}_{2}}$ по базисам подпространств $U$ и $W$:

\[\begin{align}& {{v}_{1}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}} \\ & {{v}_{2}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{\alpha _{i}^{*}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{f}_{i}}} \\ \end{align}\]

Сложим эти выражения и получим вектор $v$:

\[v=\,\sum\limits_{i=1}^{k}{\left( {{\alpha }_{i}}+\alpha _{i}^{*} \right)\cdot {{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{f}_{i}}}\]

Следовательно, произвольный вектор $v\in U\cap W$ действительно можно разложить по векторам ${{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}}$, ${{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}}$ и ${{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}}$, что и требовалось доказать. Но тогда

\[\begin{align}\dim\left( U+W \right)&=s+t-k= \\ &=\dim U+\dim W-\dim\left( U\cap W \right) \end{align}\]

Теорема доказана.

Смотрите также:
  1. Критерий Сильвестра для квадратичных функций
  2. Работа с формулами в задаче B12
  3. Умножение и деление десятичных дробей
  4. Специфика работы с логарифмами в задаче B15
  5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
  6. Задачи B4: перевозка груза тремя фирмами