Одна из важнейших теорем, с помощью которой можно определить: имеет функция обратную или нет? Точнее, под словом «нет» следует подразумевать «требуется дополнительное исследование».
Урок будет состоять из двух частей:
Сразу скажу: теорема простая, доказательство тоже несложное, а сама идея с геометрической точки зрения предельно логична и понятна. Начнём?
Теорема 1. (об обратной функции) Пусть функция $y=f\left( x \right)$ строго возрастает и непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$.
Тогда существует обратная функция $x=g\left( y \right)$ такая, что:
- $g\left( y \right)$ строго возрастает.
- $g\left( y \right)$ определена на отрезке $\left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ и непрерывна на нём.
- $g\left( y \right)={{f}^{-1}}\left( y \right)$, т.е. $g\left( f\left( x \right) \right)=x$.
Прежде чем доказывать эту теорему, отметим важный факт: чтобы функция $y=f\left( x \right)$ была обратима, она должна быть биекцией, т.е. каждому значению $y$ должно соответствовать ровно одно значение $x$ такое, что $y=f\left( x \right)$.
Из урока про инъективные и сюръективные отображения мы знаем, что функцию $f\left( x \right)$ можно считать биекцией, если выполнены два условия:
Вот на проверке этих двух условий и будет строиться доказательство существования обратной функции. А уж затем мы докажем её свойства.
Итак, чтобы $f\left( x \right):M\to N$ была обратима, она должна быть биекцией, т.е. инъекцией и сюръекцией одновременно.
1. Докажем, что $f\left( x \right)$ — инъекция, т.е. разным значениям переменной соответствует разное значение функции.
Действительно, функция $f\left( x \right)$ отображает отрезок $\left[ a;b \right]$ в отрезок $\left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$. Обозначим для краткости $f\left( a \right)=M$, $f\left( b \right)=N$.
Концы исходного отрезка отображаются в концы образа, а для всякого $x\in \left( a;b \right)$ в силу строгой монотонности функции имеем:
\[a \lt x \lt b\Rightarrow M \lt f\left( x \right) \lt N\]
Следовательно, при любом $x\in \left[ a;b \right]$ величина $f\left( x \right)$ обязательно будет лежать на отрезке $\left[ M;N \right]$.
Кроме того, в силу строгого возрастания функции $f\left( x \right)$ для любых ${{x}_{1}}\in \left[ a;b \right]$ и ${{x}_{2}}\in \left[ a;b \right]$ таких, что ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ имеем:
\[\begin{align} & {{x}_{1}} \gt {{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right) \gt f\left( {{x}_{2}} \right) \\ & {{x}_{1}} \lt {{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right) \lt f\left( {{x}_{2}} \right) \\ \end{align}\]
Другими словами, если ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$, то $f\left( {{x}_{1}} \right)\ne f\left( {{x}_{2}} \right)$. А это и означает, что $f\left( x \right)$ — инъекция (или вложение).
2. Теперь докажем, что $f\left( x \right)$ — сюръекция.
Имеем: некая функция $f\left( x \right)$ отображает отрезок $\left[ a;b \right]$ на множество $\left[ M;N \right]$ и при этом является строго возрастающей, т.е. монотонной на этом отрезке $\left[ a;b \right]$.
Следовательно, для $f\left( x \right)$ выполняется критерий непрерывности монотонной функции: для всякого $S\in \left[ M;N \right]$ найдётся число ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ такое, что $f\left( {{x}_{0}} \right)=S$.
Другими словами, у всякой точки $S$ на отрезке $\left[ M;N \right]$ найдётся прообраз ${{x}_{0}}$ на отрезке $\left[ a;b \right]$. А это и означает, что $f\left( x \right)$ — сюръекция (или накрытие).
3. Итак, мы доказали, что $f\left( x \right)$ — инъекция и сюръекция. Следовательно, $f\left( x \right)$ — биекция, и существует обратная функция $g\left( y \right)={{f}^{-1}}\left( y \right)$ такая, что
\[\begin{align} & g\left( f\left( x \right) \right)={{f}^{-1}}\left( f\left( x \right) \right)=x \\ & f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( {{f}^{-1}}\left( y \right) \right)=y \\ \end{align}\]
Поскольку функция $f\left( x \right)$ определена на отрезке $\left[ a;b \right]$ и отображает его на $\left[ M;N \right]$, то с обратной функцией $g\left( y \right)$ всё наоборот: она определена на отрезке $\left[ M;N \right]$ и отображает его на $\left[ a;b \right]$. Осталось доказать, что $g\left( y \right)$ строго возрастает и непрерывна на $\left[ M;N \right]$.
4. Покажем строгое возрастание $g\left( y \right)$. Мы уже знаем, что $f\left( x \right)$ строго возрастает и $f\left( g\left( y \right) \right)=y$. Возьмём любые ${{y}_{1}}\in \left[ M;N \right]$ и ${{y}_{2}}\in \left[ M;N \right]$ такие, что ${{y}_{1}} \lt {{y}_{2}}$, и посчитаем ${{x}_{1}}=g\left( {{y}_{1}} \right)$ и ${{x}_{2}}=g\left( {{y}_{2}} \right)$.
Возможны три варианта:
Итак, простым перебором всех возможных вариантов мы показали, что если ${{y}_{1}} \lt {{y}_{2}}$, то $g\left( {{y}_{1}} \right) \lt g\left( {{y}_{2}} \right)$. А это и означает, что функция $x=g\left( y \right)$ монотонно возрастает.
5. Теперь докажем непрерывность $g\left( y \right)$.
Мы уже знаем, что
Кроме того, мы знаем, что $g\left( f\left( x \right) \right)=x$. При этом для всякого ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ мы можем предъявить число
\[{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)\in \left[ M;N \right]\]
такое что
\[g\left( {{y}_{0}} \right)=g\left( f\left( {{x}_{0}} \right) \right)={{x}_{0}}\]
Следовательно, для функции $g\left( y \right)$ выполняются все требования критерия непрерывности (монотонность на отрезке и существование прообраза). Поэтому и сама функция $g\left( y \right)$ непрерывна на $\left[ M;N \right]$, что и требовалось доказать.
Отметим, что функция $y=f\left( x \right)$ становится биекцией именно благодаря строгой монотонности. Без монотонности нельзя гарантировать биекцию и, следовательно, обратимость.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Функция $y=\sin x$ строго монотонна и непрерывна при $x\in \left[ -{\pi }/{2}\;;{\pi }/{2}\; \right]$. Найдите обратную.
Рассмотрим часть синусоиды для $x\in \left[ -{\pi }/{2}\;;{\pi }/{2}\; \right]$:
Действительно, на этом отрезке синус монотонно растёт и непрерывен. При этом отрезок $\left[ -{\pi }/{2}\;;{\pi }/{2}\; \right]$ отображается $\left[ -1;1 \right]$.
Следовательно, существует обратная функция, определённая на отрезке $\left[ -1;1 \right]$ и отображающая его в $\left[ -{\pi }/{2}\;;{\pi }/{2}\; \right]$:
Обратная функция — это $y=\arcsin x$, которая действительно определена на отрезке $\left[ -1;1 \right]$, строго возрастает и принимает значения в диапазоне $\left[ -{\pi }/{2}\;;{\pi }/{2}\; \right]$.
Пример 2. Функция $y={{\text{e}}^{x}}$ строго монотонна и непрерывна на $x\in \mathbb{R}$. Найдите обратную.
Вообще-то этот пример не подходит под условия сегодняшней теоремы. Потому что $x\in \mathbb{R}$ — это не отрезок.
Тем не менее, функция обратима. Поскольку исходная функция $y={{\text{e}}^{x}}$ определена на $\mathbb{R}$ и отображает его в $\left( 0;+\infty \right)$, то обратная будет определена на множестве $\left( 0;+\infty \right)$ и отображает его в $\mathbb{R}$.
Как нетрудно догадаться, речь идёт о натуральном логарифме: $g\left( x \right)=\ln x$. Изобразим обе функции на одной координатной плоскости:
Красным нарисован график функции $y={{\text{e}}^{x}}$, синим — график обратной функции $y=\ln x$. Нетрудно видеть, что эти графики симметричны относительно прямой $y=x$, которая нарисована зелёным пунктиром. Впрочем, это уже совсем другая история.
Пример 3. Функция $y={{x}^{2}}$ строго монотонна и непрерывна на множестве $x\in \left[ 0;+\infty \right)$. Найдите обратную.
Очевидно, речь идёт об обычной квадратичной функции. Точнее, мы рассматриваем «правую» ветвь этой параболы. Здесь функция $y={{x}^{2}}$ строго возрастает и непрерывна, поэтому у неё есть обратная:
Функция, обратная к квадратичной — это обычный арифметический квадратный корень. И вновь графики $y={{x}^{2}}$ при $x\ge 0$ и $y=\sqrt{x}$ симметричны относительно прямой $y=x$.
Такой же трюк можно провернуть с $y=\operatorname{tg}x$, $y=\cos x$ (в этом случае $x\in \left[ 0;\pi \right]$) и множеством других функций. Но думаю, идея понятна.:)
