Критерий непрерывности монотонной функции

У непрерывных функций много интересных свойств. А если непрерывная функция ещё и монотонна, свойств становится ещё больше!

Сегодня мы разберём одно из важнейших таких свойств — критерий непрерывности монотонной функции на отрезке. Урок будет состоять из двух частей:

  1. Собственно, критерий непрерывности — формулировка, доказательство, всё как положено.
  2. Графическая интерпретация теоремы — чтобы понимать, о чём вообще речь. И какие есть подводные камни.

На самом деле это простая теорема. Сейчас мы в этом убедимся.

1. Критерий непрерывности на отрезке

Теорема. (критерий непрерывности) Пусть функция $f\left( x \right)$ определена и монотонна на отрезке $\left[ a;b \right]$.

Тогда для непрерывности её на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого числа $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ нашлась точка ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ такая, что $f\left( {{x}_{0}} \right)=m$.

Для доказательства рассмотрим только случай неубывающей функции $f\left( x \right)$ на отрезке $\left[ a;b \right]$.

1.1. Необходимость

Докажем необходимость: если функция непрерывна, то для всякого $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ найдётся ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ такое, что $f\left( {{x}_{0}} \right)=m$.

1. Итак, дана непрерывная функция $f\left( x \right)$. Возьмём произвольное число $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ и попытаемся найти ${{x}_{0}}$. Если $m=f\left( a \right)$, то всё найдено: ${{x}_{0}}=a$. То же самое, если $m=f\left( b \right)$ — в этом случае ${{x}_{0}}=b$.

2. Пусть теперь $f\left( a \right) \lt m \lt f\left( b \right)$. Тогда рассмотрим множество $A\subset \left[ a;b \right]$ таких чисел, для которых $f\left( x \right)\ge m$:

\[A=\left\{ x|x\in \left[ a;b \right];f\left( x \right)\ge m \right\}\]

Это множество ограничено концами отрезка:

\[\forall \left( x\in A \right):\quad a\le x\le b\]

Следовательно, у него есть точная нижняя грань. Вот её и обозначим как

\[{{x}_{0}}=\inf A\in \left[ a;b \right]\]

Если начертить график функции $y=f\left( x \right)$, то множество $A$, а также границы $y=m$ и $x={{x}_{0}}$ будут выглядеть примерно так:

Точная нижняя грань значений функции

3. Покажем, что $f\left( {{x}_{0}} \right)=m$. Мы знаем, что функция $f\left( x \right)$ неубывающая, поэтому для всех $x \gt {{x}_{0}}$ выполняется неравенство $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)$. Следовательно, предел справа

\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)=\inf\limits_{x \gt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{1}}\ge m\]

Аналогично, если ${{x}_{0}}\ne a$, то при $x \lt {{x}_{0}}$ имеем $f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)$. Поэтому предел слева

\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)=\sup\limits_{x \lt {{x}_{0}}}f\left( x \right)={{m}_{2}}\le m\]

Объединяем два неравенства в одно:

\[\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right)={{m}_{2}}\le m\le {{m}_{1}}=\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right)\]

Но функция $f\left( x \right)$ непрерывна на $\left[ a;b \right]$, а значит, непрерывна и в ${{x}_{0}}$. Поэтому

\[{{m}_{2}}={{m}_{1}}=m\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=m\]

4. Если в предыдущем пункте окажется, что ${{x}_{0}}=a$, то

\[f\left( a \right)\le m\le {{m}_{1}}\]

Но функция$f\left( x \right)$ непрерывна справа в точке ${{x}_{0}}=a$, поэтому

\[f\left( a \right)={{m}_{1}}=m\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=m\]

Необходимость полностью доказана.

1.2. Достаточность

Докажем достаточность: если для всякого $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ найдётся ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$ такое, что $f\left( {{x}_{0}} \right)=m$, то этого достаточно, чтобы функция точно была непрерывна.

1. Предположим противное: пусть функция $f\left( x \right)$ терпит разрыв в некой точке ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$. По теореме о точках разрыва монотонной функции на отрезке, это будет неустранимый разрыв первого рода:

\[\begin{align} \lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right) & ={{m}_{1}} \\ \lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right) & ={{m}_{2}} \\ {{m}_{1}} & \ne {{m}_{2}} \end{align}\]

2. Поскольку $f\left( x \right)$ не убывает на $\left[ a;b \right]$, определена в ${{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]$, но терпит в ${{x}_{0}}$ разрыв первого рода, заключаем

\[\begin{align} \lim\limits_{x\to {{x}_{0}}-}f\left( x \right) & ={{m}_{2}} \lt {{m}_{1}}=\lim\limits_{x\to {{x}_{0}}+}f\left( x \right) \\ {{m}_{2}} & \le f\left( {{x}_{0}} \right)\le {{m}_{1}} \end{align}\]

3. Возьмём любое число $m\in \left( {{m}_{2}};{{m}_{1}} \right)$ такое, чтобы $f\left( {{x}_{0}} \right)\ne m$. Такое число обязательно найдётся, что легок понять по графику:

Доказательство непрерывности монотонной функции

Для указанного числа $m$ получим:

\[\begin{align} & x \lt {{x}_{0}}\Rightarrow f\left( x \right) \lt m \\ & x \gt {{x}_{0}}\Rightarrow f\left( x \right) \gt m \\ & x={{x}_{0}}\Rightarrow f\left( x \right)\ne m \\ \end{align}\]

Получается, что функция $f\left( x \right)$ не принимает значение $m$ ни в одной точке отрезка $\left[ a;b \right]$. Получили противоречие с условием теоремы. Следовательно, теорема полностью доказана.

2. Графическая интерпретация теоремы

Геометрический смысл теоремы вполне нагляден и очевиден. График строго монотонной функции $y=f\left( x \right)$ на отрезке $\left[ a;b \right]$ выглядит так:

Графическое применение критерия непрерывности

Здесь приведён случай возрастающей функции. Её значения образуют на оси ординат отрезок с нижним концом $f\left( a \right)$ и верхним концом $f\left( b \right)$.

Если теперь отметить на оси ординат любое число $m\in \left[ f\left( a \right);f\left( b \right) \right]$ и провести на отмеченной высоте горизонтальную прямую, то мы неизбежно пересечём график функции $y=f\left( x \right)$ в некой точке с абсциссой ${{x}_{1}}$. Вот мы и нашли такое значение переменой, для которой $f\left( {{x}_{1}} \right)=m$.

Разумеется, таких значений ${{x}_{1}}$ может быть несколько. Например, в случае нестрогого возрастания, когда с ростом $x$ функция $f\left( x \right)$ может расти, а может оставаться неизменной. Простой пример:

График нестрого монотонной функции

Видим, что функция «задерживается» на уровне $y=m$, поэтому для этого уровня найдётся сразу множество чисел ${{x}_{1}}$, для которых $f\left( {{x}_{1}} \right)=m$.

В рамках данной теоремы не имеет значения, сколько именно найдётся таких ${{x}_{1}}$. Главное — они найдётся обязательно.

Смотрите также:
  1. Теорема Кантора о равномерной непрерывности
  2. Теорема о точках разрыва монотонной функции
  3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
  5. Изюм и виноград (смеси и сплавы)
  6. Задача B4: транзит нефти