Иррациональные функции в задаче B15: показательная функция и линейная замена

17 марта 2014

Сегодня мы разберем довольно легкую задачу на определения наибольшего и наименьшего значения функции из ЕГЭ по математике. Итак, задача:

Задача B15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−2; 0,25]:

y = (4x − 1) e^{−2 − x} + 3

Общая схема решения задач B15

В первую очередь предлагаю вспомнить основной алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Этот алгоритм состоит из четырех шагов:

Сначала во всех таких задачах нужно найти производную функции, данную в задаче: y' = ?;
Затем мы приравниваем производную к нулю (y' = 0) и получаем некие корни. Обозначим их: x₁, x₂, ...;
Из полученного набора корней оставляем те, которые лежат на отрезке, указанном в условии задачи: x₁, x₂∈ [a; b]. В тех редких случаях, когда отрезок в задаче не указан, третий шаг можно смело пропускать и сразу переходить к четвертому;
Наконец, мы берем нашу функцию и подставляем в нее сначала концы отрезка, а затем — те корни, которые оказались внутри этого отрезка. Получаем числа: y(a); y(b); y(x₁); y(x₂).

На практике крайне редко случаются ситуации, когда внутрь отрезка попадает больше, чем одна точка из числа корней производной. И это вполне нормально, потому что чем больше точек, тем сложнее задача и тем выше вероятность ошибиться в вычислениях. Итого, выполнив четвертый шаг, мы уже сможем ответить на вопрос в задаче, т. е. выбрать наибольшее или наименьшее значение функции в зависимости от того, что от нас требуется.

Пример решения задачи B15

Хватит теории, переходим к нашей задаче. Итак, первый шаг: считаем производную функции, заданную в уравнении.

Шаг 1: считаем производную функции

Все, что от нас требуется — это найти производную произведения. Напоминаю формулу:

(f · g)' = f ' · g + f · g'
y' = ((4x − 1) e^{−2 − x} + 3)' = (4x − 1)' · e^{−2 − x} + (4x − 1) · (e^{−2 − x})' = 4 · e^{−2 − x} + (4x − 1) · e^{−2 − x} · (−1)

У многих учеников сейчас наверняка возникнет вопрос. С функцией e^{−2 − x} все понятно, потому что:

(e^x)' = e^x

А откуда взялся множитель (−1) в самом конце? Все очень просто. Если в нашей табличной производной, которую мы только что записали, заменить переменную х линейной функцией kx + b, то получим:

(e^{kx + b})' = e^{kx + b} · k

Данная формула является частным случаем производной сложной функции, и она существенно упрощает вычисление. К тому же, многие ученики вообще не понимают производную сложной функции, потому что она очень плохо объясняется в школьном материале. А вот такое правило, которое работает не только с экспонентой, но и с любой функцией, способен запомнить каждый ученик. Поэтому запомните:

Если в показательной степени, в логарифме или еще где-то вместо переменной x стоит линейная функция kх + b, то мы считаем производную точно также, если бы там стоял х, но в конце добавляем коэффициент k — тот самый, который стоит перед х в нашей линейной функции.

Хватит размышлять, а давайте вернемся к нашей производной. Разложим ее на множители:

y' = 4 · e^{−2 − x} + (4x − 1) · e^{−2 − x} · (−1) = e^{−2 − x} (4 · 1 + (4х − 1) · 1 · (−1)) = e^{−2 − x} (4 − 4х + 1) = e^{−2 − x} · (5 − 4х)

Шаг 2: приравниваем производную функции к нулю

Все, производная найдена и, более того, разложена на множители. Переходим ко второму шагу: приравниваем ее к нулю:

e^{−2 − x} · (5 − 4х) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, однако e^{−2 − x} никогда не бывает равно нулю, поэтому у нас остается единственный вариант:

5 − 4х = 0

x = 5/4

Шаг 3: отбор корней производной

Переходим к третьему шагу и сразу обнаруживаем, что число 5/4 не лежит на отрезке [−2; 0,25]. Действительно 5/4 = 1,25, что, очевидно, больше, чем 0,25, т. е. наибольший конец отрезка. Следовательно, данный корень нас не интересует, и сразу мы переходим к четвертому шагу.

Шаг 4: подставляем концы отрезка в исходную функцию

Мы уже выяснили, что будем подставлять в исходную функцию лишь два числа, а именно концы отрезка: −2 и 0,25. Получим:

y(−2) = (−9) · e⁰ + 3 = −9 + 3 = −6;
y(0,25) = 0 · e^0,25 + 3 = 3.

У нас два кандидата на ответ: y = −6 и y = 3. Возвращаемся к условию задачи и смотрим, что от нас требуется. А требуется от нас найти наибольшее значение функции на отрезке. Наибольшим из двух этих чисел является число y = 3, поэтому ответом будет именно тройка. Все, задача решена.

Ключевые моменты решения задачи B15

Для нахождения ответа нам потребовалось знать два ключевых момента:

Производное произведение считается по формуле: (f · g)' = f ' · g + f · g';
Частный случай производной сложной функции: если вместо х подставить выражение kx + b, то в итоговую производную нужно дописать множитель k, что мы и сделали. Еще раз напомню, что данная формула является частным случаем производной сложной функции, и без учета этого множителя ответ почти наверняка получится неправильным.

Удачи вам при подготовке к ЕГЭ о математике! Решайте задачи, тренируйтесь — и оставайтесь с нами.:)

Смотрите также: