Задание 6. Касательная и квадратичная функция с параметром

16 января 2014

Вот мы и добрались до самой сложной задачи B9, которая встречается в реальном ЕГЭ по математике. И для того, чтобы любой ученик смог решить ее, сегодня мы не просто разберем эту задачу, а рассмотрим сразу три варианта решения — от стандартного до самого быстрого и простого.

Задача B9. Прямая y = 18x + 5 является касательной к графику функции:

y = ax² + 2x + 7

Найдите значение параметра a.

Основная сложность этой задачи состоит в том, что параметр стоит рядом со слагаемым x². Чтобы раз и навсегда усвоить, как решается такая задача, предлагаю вашему вниманию сразу три различных способа решить ее:

1. Стандартный алгоритм — записываем условие, составляем систему уравнений с параметром и решаем ее;
2. Ускоренный — замечаем, что ax^2 = ax · x и выполняем замену переменной. Таким образом, решение сократится почти вдвоое;
3. Самый быстрый и простой способ — через дискриминант квадратного уравнения. Вспоминаем, что уравнение имеет один корень (точнее, корней все-таки два, но они совпадают) тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю: D = 0. И на основе этого замечания строится все решение.

В общем, на самом деле эта задача B9 не такая уж и сложная. Удачи вам на ЕГЭ по математике!

1. ЕГЭ 2022, задание 6. Физический смысл производной
2. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром