Теорема Менелая

— Что общего между теоремой Менелая и наркотиками?
— О них все знают, но никто не говорит.
© Типичный разговор с учеником

Это прикольная теорема, которая поможет вам в тот момент, когда кажется, что уже ничего не поможет. В уроке мы сформулируем саму теорему, рассмотрим несколько вариантов её использования, а в качестве десерта вас ждёт суровое домашнее задание. Поехали!

Для начала — формулировка. Возможно, я дам не самую «красивую» версию теорему, но зато самую понятную и удобную.

Теорема Менелая. Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и некую прямую $l$, которая пересекает две стороны нашего треугольника внутренним образом и одну — на продолжении. Обозначим точки пересечения $M$, $N$ и $K$:

Треугольник $ABC$ и секущая $l$

Тогда верно следующее соотношение:

\[\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CK}{KA}=1\]

Хочу отметить: не надо зубрить расположение букв в этой злобной формуле! Сейчас я расскажу вам алгоритм, по которому вы всегда сможете восстановить все три дроби буквально на лету. Даже на экзамене в состоянии стресса. Даже если вы сидите за геометрией в 3 часа ночи и вообще уже ничего не понимаете.:)

Схема простая:

  1. Чертим треугольник и секущую. Например, так, как показано в теореме. Обозначаем вершины и точки какими-нибудь буквами. Это может быть произвольны треугольник $ABC$ и прямая с точками $M$, $N$, $K$, либо какая-нибудь другая — суть не в этом.
  2. Ставим ручку (карандаш, маркер, гусиное перо) в любую вершину треугольника и начинаем обход сторон этого треугольника с обязательным заходом в точки пересечения с прямой. Например, если сначала пойти из точки $A$ в точку $B$, то получим отрезки: $AM$ и $MB$, затем $BN$ и $NC$, а затем (внимание!) $CK$ и $KA$. Поскольку точка $K$ лежит на продолжении стороны $AC$, то при движении из $C$ в $A$ придётся временно свалить из треугольника.
  3. А теперь просто делим соседние отрезки друг на друга ровно в том порядке, в котором мы получили их при обходе: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ — получим три дроби, произведение которых и даст нам единицу.

На чертеже это будет выглядеть вот так:

Простая схема, позволяющая восстановить формулу из т. Менелая

И сразу пара замечаний. Точнее, это даже не замечания, а ответы на типичные вопросы:

Думаю, с формулировкой разобрались. Давайте посмотрим, как вся эта дичь применяется для решения сложных геометрических задач.

Зачем всё это нужно?

Предупреждение. Чрезмерное применение теоремы Менелая для решения планиметрических задач может нанести непоправимый вред вашей психике, поскольку данная теорема значительно ускоряет вычисления и заставляет вспоминать другие важные факты из школьного курса геометрии.

Доказательство

Я не буду её доказывать.:)

Ладно, докажу:

  1. Дополнительное построение: прямая $CT\parallel AB$, причём $T$ — точка пересечения $CT$ с исходной прямой $l$.
    Дополнительное построение: прямая $CT$
  2. Заметим, что $\Delta AMK\sim \Delta CTK$ по двум углам (угол $CKT$ — общий, а $\angle KAB=\angle KCT$ как соответственные при параллельных прямых $AB$ и $CT$ и секущей $AK$). Следовательно:

    \[\frac{AM}{CT}=\frac{MK}{TK}=\frac{AK}{CK}\]

    Откуда легко видеть, что $CT=\frac{AM\cdot CK}{AK}$.

  3. С другой стороны, $\Delta BMN\sim \Delta CTN$ — опять же по двум углам ($\angle MNB=\angle TNC$ как вертикальные, а $\angle MBN=\angle CTN$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CT$ и секущей $BC$). Следовательно:

    \[\frac{BM}{CT}=\frac{MN}{TN}=\frac{BN}{CN}\]

    В частности, опять же $CT=\frac{BM\cdot CN}{BN}$.

Теперь осталось сравнить два полученных значения для отрезка $CT$:

\[CT=\frac{AM\cdot CK}{AK}=\frac{BM\cdot CN}{BN};\]

\[AM\cdot BN\cdot CK=BM\cdot CN\cdot AK;\]

\[\frac{AM\cdot BN\cdot CK}{BM\cdot CN\cdot AK}=1;\]

\[\frac{AM}{BM}\cdot \frac{BN}{CN}\cdot \frac{CK}{AK}=1;\]

Ну вот и всё. Осталось только «причесать» эту формулу, правильно расставив буквы внутри отрезков — и формула готова.:)

Смотрите также:
  1. Как применяется теорема косинусов и подобие треугольников для решения широкого класса задач в планиметрии.
  2. Что такое теорема косинусов и как она помогает решать геометрические задачи
  3. Площадь круга
  4. Центральные и вписанные углы в задании 6
  5. Координаты вершин правильного тетраэдра
  6. Задача B4: обмен валют в трех различных банках