Теорема о трёх перпендикулярах

Сегодня в уроке:

  1. Теорема о трёх перпендикулярах
  2. Применение в доказательствах
  3. Применение для вычислений
  4. Дополнение. Перпендикулярность прямой и плоскости

На прошлом уроке мы узнали, что такое наклонная. И познакомились с несколькими её свойствами. Сегодня идём дальше и разбираем теорему о трёх перпендикулярах — одну из немногих «чисто стереометрических теорем», которые нельзя свести к привычной планиметрии.

1. Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о трёх перпендикулярах. Пусть $AB$ — наклонная к плоскости $\alpha $, $MB$ — проекция этой наклонной на плоскость $\alpha $, прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha $. Тогда:

1. Если проекция $MB\bot l$, то и наклонная $AB\bot l$;

2. Верно и обратное: если наклонная $AB\bot l$, то проекция $MB\bot l$.

Из формулировки ясно, что теорема о трёх перпендикулярах работает при выполнении трёх обязательных условий:

  1. Есть наклонная и есть проекция наклонной на плоскость $\alpha $;
  2. Эта проекция (либо сама наклонная) перпендикулярна некой прямой $l$;
  3. Прямая $l$ находится именно в плоскости $\alpha $.

Лишь в этом случае можно заявить, что наклонная (либо проекция) тоже перпендикулярна:

\[\left. \begin{align} & 1.\ MB={{}_{\alpha }}AB \\ & 2.\ MB\bot l \\ & 3.\ l\in \alpha \\ \end{align} \right|\Rightarrow AB\bot \alpha \]

Убрать любое из этих трёх условий — и теорема не работает. Все дальнейшие рассуждения становятся необоснованными. Это особенно актуально на всевозможных экзаменах типа ЕГЭ и ДВИ, где недостаточно дать правильный ответ — нужно строгое обоснование каждого шага.

Многие задачи на теорему о трёх перпендикулярах сводятся к рассмотрению простой фигуры на плоскости $\alpha $ (треугольник, четырёхугольник).

Идеальный чертёж для таких задач — «вид сверху» на плоскость $\alpha $ и эту фигуру, а затем наклонная под любым удобным углом. Наглядность чертежа максимальна, вероятность ошибки — ноль.

Рассмотрим простой пример:

В треугольнике $ABC$ $AB=BC=20$, $AC=32$, $BM=5$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$.

Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.

Сравните два чертежа. Привычный для планиметрии «вид сверху»:

Без труда угадывается равнобедренный треугольник $ABC$ и дополнительное построение: Наклонная $MH$ и проекция $BH$.

А вот «вид сбоку», более типичный для стереометрии:

То же треугольник и те же дополнительные построения. Работать с таким чертежом большинству начинающих учеников гораздо сложнее. Поэтому смело используйте первый вариант. С опытом возьмёте на вооружение и второй.

2. Применение в доказательствах

Теорема о трёх перпендикулярах часто встречается в задачах на доказательство. Но перед тем, как мы перейдём к задачам, важное уточнение:

Прямая, перпендикулярная проекции наклонной, далеко не всегда будет проходить через основание этой наклонной.

Простой пример: наклонная $AB$, её проекция $BC$ и несколько прямых, перпендикулярных этой проекции: ${{l}_{1}}$, ${{l}_{2}}$ и ${{l}_{3}}$.

Из трёх прямых лишь ${{l}_{1}}$ проходит через основание наклонной — точку $B$. Но все они равноправны с точки зрения теоремы о трёх перпендикулярах. И согласно ей, все они перпендикулярны наклонной $AB$.

Учитывая это, переходим к задачам.:)

Задача. Дан ромб $ABCD$ и прямая $MC$, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что прямые $AM$ и $BD$ перпендикулярны.

Исходный чертёж выглядит так:

1. Дополнительное построение: $AC$ — диагональ ромба:

2. $MC\bot ABCD$ (по условию). Следовательно, $MC\bot AC$, поэтому $AC$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $ABCD$.

3. $ABCD$ — ромб (по условию); $BD$ и $AC$ — его диагонали (по построению). Следовательно, $AC\bot BD$ (диагонали ромба перпендикулярны).

4. $AC$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $ABCD$ (доказано в п.2); $BD\bot AC$ (доказано в п. 3); $BD\in ABCD$ (по условию). Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $AM\bot BD$, что и требовалось доказать.

Вот именно так — по пунктам, в каждом пункте по одной теореме — и нужно решать любые геометрические задачи. К таким выкладкам никто никогда не придерётся.

3. Применение для вычислений

Переходим к вычислениям. Примечательное свойство вычислительных задач в стереометрии состоит в том, что они почти всегда сводятся к обычной планиметрии. Исключение — задачи на вычисление объёма фигуры. Просто потому что на плоскости никаких объёмов нет.:)

Задача. Отрезок $SA$ — перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$. Найдите расстояние от точки $S$ до прямой $CD$, если $\angle BAD=30{}^\circ $, $AD=18$, $AM=2\sqrt{10}$.

1. Дополнительное построение: $AH\bot CD$ — высота на продолжение $CD$; отрезок $MH$.

2. $AS\bot ABCD$ (по условию). Следовательно, $AH$ — проекция наклонной $SH$ на плоскость $ABCD$.

3. $AH={{}_{ABCD}}SH$ (доказано в п. 2); $AH\bot CD$ (по построению); $CD\in ABCD$ (по условию). Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $SH\bot CD$. Поэтому длина отрезка $SH$— это искомое расстояние.

4. $AB\parallel CD$ (по условию, $ABCD$ — ромб); $AD$ — секущая. Следовательно, $\angle ADH=\angle BAD=30{}^\circ $ (внутренние накрест лежащие).

5. Треугольник $ADH$: $\angle AHD=90{}^\circ $ (по построению); $\angle ADH=30{}^\circ $ (доказано в п. 4). Следовательно

\[\begin{align} AH & =AD\cdot \sin 30{}^\circ = \\ & =18\cdot \frac{1}{2}=9 \end{align}\]

6. Треугольник $ASH$: $\angle SAH=90{}^\circ $ (по условию). Теорема Пифагора:

\[\begin{align} S{{H}^{2}} & =A{{S}^{2}}+A{{H}^{2}}= \\ & =40+81=121 \end{align}\]

Получили $SH=11$ — это окончательный ответ.

Как и следовало ожидать, от стереометрии в этой задаче лишь определение прямой, перпендикулярной к плоскости, а также сама теорема о трёх перпендикулярах.

4. Дополнение. Перпендикулярность прямой и плоскости

Далеко не всегда прямая, проходящая через «свободный» конец наклонной, будет перпендикулярна плоскости прямо по условию задачи. Поэтому вспомним определение и признак перпендикулярности:

Определение. Прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha $, если она перпендикулярна любой прямой $c\in \alpha $, лежащей в этой плоскости.

Критерий перпендикулярности. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Чтобы доказать, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha $, достаточно отыскать две пересекающиеся прямые $a\in \alpha $ и $b\in \alpha $ в этой плоскости и доказать, что обе эти прямые перпендикулярны исходной прямой $l$:

\[\left. \begin{align} & l\bot a\in \alpha \\ & l\bot b\in \alpha \\ & a\bigcap b=M \\ \end{align} \right|\Rightarrow l\bot \alpha \]

По этой теме будет отдельный урок. Сейчас просто отмечу, что большинство задач в стереометрии (особенно на доказательство) вполне решаются с помощью двух рассмотренных сегодня теорем: теорема о трёх перпендикулярах и признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Смотрите также:
  1. Тест к уроку «Десятичные дроби» (1 вариант)
  2. Метод Гаусса
  3. Как решать задачи B15 без производных
  4. Наибольшее и наименьшее значение
  5. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение
  6. Показательные уравнения с логарифмами