Первообразная функции и общий вид

20 июля 2015

Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.

На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)

Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.

Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.

Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.

Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.

Что такое первообразная и как она считается

Допустим, нам необходимо посчитать следующую производную:

\[f\left( x \right)={{x}^{3}}\]

Мы знаем такую формулу:

\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

Считается эта производная элементарно:

\[{f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]

Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:

\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]

Но мы можем записать и так, согласно определению производной:

\[{{x}^{2}}={{\left( \frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]

А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Аналогично запишем и такое выражение:

\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]

Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:

\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]

Теперь мы можем сформулировать четкое определение.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Вопросы о первообразной функции

Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:

  1. Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
  2. Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
  3. Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?

На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.

Решение задач со степенными функциями

Давайте попробуем посчитать такое выражение:

\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]

Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:

\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]

Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:

\[{{\left( \ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]

Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:

\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]

Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.

Итак, что нам известно на данный момент:

Идем далее. Что нам еще может потребоваться? Конечно же, правило вычисления первообразных от суммы и от разности. Запишем так:

\[f\left( x \right)\to F\left( x \right)\]

\[g\left( x \right)\to G\left( x \right)\]

\[f+g\to F+G\]

\[f-g=F-G\]

\[c\cdot f\to c\cdot F\left( c=const \right)\]

А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.

Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.

Решение реальных задач

Задача № 1

\[f\left( x \right)={{x}^{2}}+5{{x}^{4}}\]

Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

\[5{{x}^{4}}\to 5\cdot \frac{{{x}^{5}}}{5}={{x}^{5}}\]

Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{5}}\]

Задача № 2

\[f\left( x \right)=\frac{x+1}{x}\]

Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:

\[f\left( x \right)=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}\]

Мы разбили дробь на сумму двух дробей.

Посчитаем:

\[F\left( x \right)=1\cdot x+\ln x\]

\[F\left( x \right)=x+\ln x\]

Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]

\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]

\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]

Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно

Решение выражений со степенью с рациональным показателем

Пример № 1

\[f\left( x \right)=7\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}\]

Посчитаем каждый корень отдельно:

\[\]

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

\[\sqrt[4]{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:

\[F\left( x \right)=7\cdot \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}+\frac{5\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{4}=\frac{14\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}+\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

Пример № 2

\[f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}\]

Запишем:

\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]

Следовательно, мы получим:

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{-\frac{1}{2}+1}}}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}}=2{{x}^{\frac{1}{2}}}=2\sqrt{x}\]

\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]

Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:

\[F\left( x \right)=2\sqrt{x}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]

Пример № 3

\[f\left( x \right)=\sqrt[4]{x}-x\sqrt{x}+1\]

Для начала заметим, что $\sqrt[4]{x}$ мы уже считали:

\[\sqrt[4]{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

\[x\sqrt{x}={{x}^{1}}\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}={{x}^{\frac{3}{2}}}\]

\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]

\[1\to x\]

Перепишем:

\[F\left( x \right)=\frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}-\frac{2{{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}+x\]

Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

\[f\left( x \right)={{\left( \sqrt[3]{x}-2 \right)}^{2}}\]

Вспомним формулу квадрата разности:

\[{{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]

Давайте перепишем нашу функцию:

\[f\left( x \right)=\left( \sqrt[3]{x} \right)-2\cdot \sqrt[3]{x}\cdot 2+4\]

\[f\left( x \right)={{x}^{\frac{2}{3}}}-4{{x}^{\frac{1}{3}}}+4\]

Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:

\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]

\[4\to 4x\]

Собираем все в общую конструкцию:

\[F\left( x \right)=\frac{3{{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}-3{{x}^{\frac{4}{3}}}+4x\]

Задача № 2

\[f\left( x \right)={{\left( \frac{1}{x}-2 \right)}^{3}}\]

В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:

\[{{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]

С учетом этого факта можно записать так:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}}-3\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}\cdot 2+3\cdot \frac{1}{x}\cdot 4-8\]

Давайте немного преобразуем нашу функцию:

\[f\left( x \right)={{x}^{-3}}-6{{x}^{-2}}+12\cdot {{x}^{-1}}-8\]

Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:

\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]

\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]

\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]

\[8\to 8x\]

Запишем полученную конструкцию:

\[F\left( x \right)=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}+\frac{6}{x}+12\ln x-8x\]

Задача № 3

\[f\left( x \right)=\frac{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}\]

Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:

\[\frac{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\] 

Далее все легко:

\[x\to \frac{{{x}^{2}}}{2}\]

\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

\[1\to x\]

Давайте напишем итоговое решение:

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{4{{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}+x\]

А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:

  1. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
  2. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
  3. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.

Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.

Еще раз переписываем наши конструкции:

\[F\left( x \right)=\frac{3{{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}-3{{x}^{\frac{4}{3}}}+4x+C\]

В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.

Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:

\[F\left( x \right)=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}+\frac{6}{x}+12\ln x+C\]

И последняя:

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{4{{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}+x+C\]

И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.

Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой

Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача? 

Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.

Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.

Пример № 1

\[f\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-2x+6\]

\[M=\left( -1;4 \right)\]

Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:

\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]

\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]

\[x\to \frac{{{x}^{2}}}{2}\]

\[6\to 6x\]

Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:

\[F\left( x \right)=5\cdot \frac{{{x}^{5}}}{5}+6\cdot \frac{{{x}^{4}}}{4}-2\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+6x+C\]

\[F\left( x \right)={{x}^{5}}+\frac{3{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{2}}+6x+C\]

Эта функция должна проходить через точку $M\left( -1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left( x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:

\[4={{\left( -1 \right)}^{5}}+\frac{3\cdot {{\left( -1 \right)}^{4}}}{2}-{{\left( -1 \right)}^{2}}+6\cdot \left( -1 \right)+C\]

Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:

\[4=-1+\frac{3}{2}-1-6+C\]

\[C=4+6+2-\frac{3}{2}=10,5\]

Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:

\[F\left( x \right)={{x}^{5}}+\frac{3{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{2}}+6x+10,5\]

Пример № 2

\[f\left( x \right)={{\left( x-3 \right)}^{2}}\]

\[M=\left( 2;-1 \right)\]

В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:

\[f\left( x \right)={{x}^{2}}-6x+9\]

Считаем:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

\[x\to \frac{{{x}^{2}}}{2}\]

\[9\to 9x\]

Исходная конструкция запишется следующим образом:

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-6\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+9x+C\]

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+9x+C\]

Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:

\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]

Выражаем $C$:

\[C=-1-6-2\frac{2}{3}=-9\frac{2}{3}\]

Осталось отобразить итоговое выражение:

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+9x-9\frac{2}{3}\]

Решение тригонометрических задач

В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.

Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.

Задача № 1

\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

\[M=\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}};-1 \right)\]

Вспомним следующую формулу:

\[{{\left( \text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

Исходя из этого, мы можем записать:

\[F\left( x \right)=\text{tg}x+C\]

Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:

\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]

\[-1=1+C\]

\[C=-2\]

Перепишем выражение с учетом этого факта:

\[F\left( x \right)=\text{tg}x-2\]

Задача № 2

\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

\[M=\left( -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}};2 \right)\]

Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.

Вспомним такую формулу:

\[{{\left( \text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:

\[{{\left( -\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Вот наша конструкция

\[F\left( x \right)=-\text{ctg}x+C\]

Подставим координаты точки $M$:

\[2=-\text{ctg}\left( -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)+C\]

\[2=\text{ctg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]

\[2=1+C\]

\[C=1\]

Итого запишем окончательную конструкцию:

\[F\left( x \right)=-\text{ctg}x+1\]

Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.

Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!

Смотрите также:
  1. Учимся считать интегралы с помощью таблицы первообразных
  2. Интегрирование по частям
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 1 (без логарифмов)
  4. Что такое ЕГЭ по математике 2011 и как его сдавать
  5. Что такое ЕГЭ по математике 2012
  6. Задачи на проценты: формула, упрощающая вычисления