Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение: используем формулы процентов

14 ноября 2013

В сегодняшнем уроке мы продолжаем изучать задачи B2 на проценты. В этот раз разберем так называемые задачи комбинированного типа, где расчет процента соседствует с округлением в меньшую или большую сторону в зависимости от условия задачи.

Итак первая задача:

Задача 1. Магазин закупает тарелки по оптовой цене 70 рублей за штуку и продает с наценкой 40%. Какое наибольшее число таких тарелок можно купить в этом магазине на 500 рублей?

Как решать такую задачу? В первую очередь надо понять, что решение будет разбито на 2 этапа:

  1. Сначала надо найти новую стоимость тарелки. Ведь изначально тарелка стоила 70 рублей, а затем ее стоимость увеличилась на 40%.
  2. И только затем, зная стоимость тарелки после повышения цены, мы выясняем: сколько таких тарелок «влезет» в сумму 500 рублей.

Итак, поехали! Первый шаг — выясняем стоимость тарелки с учетом наценки. Для этого воспользуемся стандартной формулой простых процентов. А именно:

Теорема о простых процентах. Пусть нам известна исходная величина x, процент изменения k и итоговая величина y. Тогда итоговая величина y выражается через исходную по формуле:

Формула простого процента

Плюс или минус перед коэффициентом k ставится в зависимости от того, увеличивается рассматриваемая величина или уменьшается.

Очевидно, что в нашем случае величина x будет увеличиваться, поэтому при k будет стоять плюс. Подставляем:

Подставляем числа в формулу простого процента (процент увеличивает исходную величину)

Это обычное уравнение. Выполняем сложение в числителе. Множитель 70 тоже заносим в числитель. Получаем:

То же самое уравнение, но уже после сложения чисел в числителе дроби

Как видите, все очень легко сокращается и вычисляется. Вот, мы нашли стоимость тарелки с учетом наценки в магазине. Второй шаг — надо узнать: сколько таких тарелок мы купим за 500 рублей. Для этого разделим:

n = 500 : 98 = 5,...

Тут даже не надо ничего придумывать. Думаю, что это очевидно: получится пять целых и что-то там после запятой. Однако нас совершенно не должны интересовать числа после запятой, потому что в задаче требуется найти наибольшее количество таких тарелок. Следовательно, округляем наше число в меньшую сторону и получаем просто n = 5.

Итак, на 500 рублей мы можем купить 5 тарелок. Причем каждая тарелка в магазине будет стоить 98 рублей, т.е. включать в себя наценку. Все, задача решена! Идем дальше.

Задача 2. Пара носков стоит 160 рублей. Какое наибольшее число таких пар носков можно будет купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 20%?

Ну, первым шагом опять же найдем: сколько стоит пара носков с учетом распродажи, т.е. скидки 20%. Для этого снова запишем формулу простого процента:

формула простого процента

Поскольку в задаче речь идет о скидке, то число k в числителе этой формулы будет стоять с минусом. При этом в качестве x выступает исходная величина, т.е. стоимость носко x = 160 рублей. А величина y это то, что мы должны найти. Итак, считаем:

Снова формула простого процента, но уже с минусом в числителе

Как видите, все очень просто считается. Достаточно внести множитель 160 в числитель, а затем сократить полученную конструкцию со знаменателем. В результате дробь исчезает, поскольку в знаменателе получается единица. Итого y =16 · 8 = 128.

Вторым шагом находим собственно ответ к задаче, который от нас и требуется. Сколько носков по цене 128 рублей за пару мы можем купить, если у нас в распоряжении только 1000 рублей? Просто разделим 1000 на 128:

n = 1000 : 128 = 125 · 8 : 128 = 125 : 16

Осталось разделить 125 на 16. Можно сделать это уголком, а можно немножко схитрить и записать это действие следующим образом:

Учимся считать дроби без калькулятора и уголка

Поясню, откуда взялись числа 80 и 32. Дело в том, что число 125 не делится нацело на 16 — это очевидно хотя бы потому, что 125 является нечетным числом, а 16 — четным. Однако в числе 125 содержатся числа, которые кратны 16. Например, 80 = 5 · 16. Или 32 = 2 · 16.

Поэтому мы составляем такое разбиение, чтобы максимально сократить дробь. Далее, как следует из записи, мы разбиваем нашу большую дробь на сумму маленьких дробей, считаем их отдельно и вновь складываем. Получаем, что на 1000 рублей мы можем купить чуть меньше 8 носков.

Теперь возвращаемся к вопросу задачи, который звучит следующим образом: какое наибольшее число таких пар носков можно будет купить? Следовательно, округляем наш предположительный ответ в меньшую сторону и получаем просто n = 7. Это и есть итоговый ответ: во время распродажи на 1000 рублей можно купить только 7 носков. Больше никак не получится, потому что 13/16 пары нам никто не продаст.

Все, задача решена. Надеюсь, этот урок поможет тем, кто готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все! С вами был Павел Бердов. До новых встреч!:)

Смотрите также:
  1. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции
  2. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
  3. Умножение и деление дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
  6. Почему в России такой низкий уровень жизни?