Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.
Подобные треугольники — ключевая тема геометрии 8 класса. Они будут преследовать нас до самого конца школы. И сегодня мы разберём всё, что нужно знать о них.
План такой:
Определение. Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNK$:
У них есть равные углы: $\angle A=\angle M$, $\angle B=\angle N$, $\angle C=\angle K$. И пропорциональные стороны:
\[\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NK}= \frac{AC}{MK}= \frac{\color{red}{3}}{\color{red}{2}}\]
Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны. Записывается это так:
\[\Delta ABC\sim \Delta MNK\]
Число $k={\color{red}{3}}/{\color{red}{2}}\;$ называется коэффициентом подобия. К нему мы ещё вернёмся.
Пропорциональные стороны подобных треугольников (например, $AB$ и $MN$, либо $BC$ и $NK$) в некоторых учебниках называют сходственными. На практике этот термин применяется редко. Мы будем говорить просто «соответственные стороны».
Дальше идёт очень важное замечание.
В геометрии один и тот же треугольник можно называть по-разному. Например, $\Delta ABC$, $\Delta BCA$ или $\Delta CAB$ — это всё один и тот же треугольник. То же самое касается и углов.
Но в подобных треугольниках есть негласное правило:
При обозначении подобных треугольников порядок букв выбирают так, чтобы равные углы перечислялись в одной и той же последовательности.
Вернёмся к нашим треугольникам $ABC$ и $MNK$:
Поскольку $\angle\color{red}{A}=\angle\color{red}{M}$ и $\angle\color{blue}{B}=\angle\color{blue}{N}$, можно записать $\Delta\color{red}{A}\color{blue}{B}C\sim \Delta\color{red}{M}\color{blue}{N}K$. Или $\Delta C\color{red}{A}\color{blue}{B}\sim \Delta K\color{red}{M}\color{blue}{N}$. Но никак не $\Delta\color{red}{A}\color{blue}{B}C\sim \Delta K\color{red}{M}\color{blue}{N}$.
Да, это негласное правило. И если вы нарушите последовательность букв, это не ошибка. Никто не снизит вам за это баллы. А если снизит — добро пожаловать на апелляцию.
Правильная запись позволяет быстро и безошибочно выписывать пропорциональные стороны треугольников. Рассмотрим два подобных треугольника:
\[\Delta ABC\sim \Delta MNK\]
Берём две первые буквы из каждого треугольника: ${AB}/{MN}\;$. Затем две последние буквы: ${BC}/{NK}\;$. Наконец, вычёркиваем «центральную» букву: ${AC}/{MK}\;$.
Приравниваем полученные три дроби:
\[\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NK}=\frac{AC}{MK}\]
Вот и всё! Даже рисунок не нужен! Этот приём настолько прост и эффективен, что его в обязательном порядке изучают на моих занятиях, курсах и вебинарах.
В будущем мы увидим, что подобные треугольники чаще всего ищут как раз для составления таких пропорций.
Подобные треугольники появляются всякий раз, когда прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает его стороны.
Теорема 1. Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает треугольник, подобный исходному.
Доказательство. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть прямая $MN\parallel AB$ отсекает треугольник $MNC$:
Докажем, что $\Delta ABC\sim \Delta MNC$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNC$. У них есть общий угол $ACB$.
Углы $ABC$ и $MNC$ — соответственными при $MN\parallel AB$ и секущей $BC$. Следовательно, они равны: $\angle ABC=\angle MNC$.
Аналогично равны углы $BAC$ и $NMC$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNC$ имеют три соответственно равных угла.
Докажем теперь, что соответственные стороны пропорциональны. Т.е. докажем пропорцию
\[\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NC}=\frac{AC}{MC}\]
Рассмотрим угол $ACB$. Параллельные прямые $AB$ и $MN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:
\[\frac{AC}{MC}=\frac{BC}{NC}\]
Это равенство — второе в искомом:
\[\frac{AB}{MN}= \color{red}{\frac{BC}{NC}=\frac{AC}{MC}}\]
Осталось доказать первое равенство. Дополнительное построение: прямая $KN\parallel AC$:
Поскольку $AM\parallel KN$ (по построению) и $AK\parallel MN$ (по условию), четырёхугольник $AKNM$ — параллелограмм. Поэтому $AK=MN$.
Рассмотрим угол $ABC$. Параллельные прямые $AC$ и $KN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:
\[\frac{AB}{AK}=\frac{BC}{NC}\]
Учитывая, что $AK=MN$, получаем
\[\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NC}=\frac{AC}{MC}\]
Итак, соответственные углы треугольников $ABC$ и $MNC$ равны, а их стороны пропорциональны. Следовательно, по определению подобных треугольников
\[\Delta ABC\sim \Delta MNC\]
Что и требовалось доказать.
Эта лемма — не признак подобия. Это самостоятельная теорема, которая ускоряет решение многих задач.
Признаки подобия разобраны в отдельном уроке — см. «Признаки подобия треугольников».
Частный случай этой леммы — средняя линия. Она отсекает треугольник со сторонами в два раза меньше, чем у исходного:
Оформляется это так. Поскольку $AM=MC$ и $BN=NC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ параллельны, откуда
\[\Delta ABC\sim \Delta MNC\]
Два важнейших свойства: связь периметров и связь площадей.
Теорема 2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Доказательство. Рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:
Запишем равенство из определения подобия. Поскольку $\Delta ABC\sim\Delta MNK$, стороны этих треугольников пропорциональны:
\[\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NK}=\frac{AC}{MK}=\color{red}{k}\]
Здесь число $\color{red}{k}$ — коэффициент подобия. Полученное тройное равенство можно переписать так:
\[\frac{AB}{MN}=\color{red}{k};\ \frac{BC}{NK}=\color{red}{k};\ \frac{AC}{MK}=\color{red}{k}\]
Или, что то же самое:
\[\begin{align}AB&=\color{red}{k}\cdot MN \\ BC &=\color{red}{k}\cdot NK \\ AC &=\color{red}{k}\cdot MK \\ \end{align}\]
Периметр треугольника $MNK$:
\[{{P}_{\Delta MNK}}=MN+NK+MK\]
Периметр треугольника $ABC$:
\[\begin{align}{{P}_{\Delta ABC}} &=AB+BC+CD= \\ &=\color{red}{k}\cdot MN+\color{red}{k}\cdot NK+\color{red}{k}\cdot MK= \\ &=\color{red}{k}\cdot \left( MN+NK+MK \right)= \\ &=\color{red}{k}\cdot {{P}_{\Delta MNK}} \end{align}\]
Итого получаем равенство
\[{{P}_{\Delta ABC}}=\color{red}{k}\cdot {{P}_{\Delta MNK}}\]
Обычно именно в таком виде это равенство и применяют. Но можно записать его и как отношение:
\[\frac{{{P}_{\Delta ABC}}}{{{P}_{\Delta MNK}}}=\color{red}{k}\]
В любом случае, мы получили отношение, которое и требовалось доказать.
Теорема 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. Первые шаги очень похожи на доказательство предыдущей теоремы. Вновь рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:
Поскольку $\Delta ABC\sim\Delta MNK$, углы $ABC$ и $MNK$ равны. Следовательно, равны синусы этих углов:
\[\begin{align}\angle ABC &=\angle MNK=\color{blue}{\alpha} \\ \sin \angle ABC &=\sin \angle MNK=\sin \color{blue}{\alpha} \end{align}\]
Кроме того, стороны подобных треугольников пропорциональны:
\[\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NK}=\frac{AC}{MK}=\color{red}{k}\]
В частности, из этого равенства следует, что
\[\frac{AB}{MN}=\color{red}{k};\ \frac{BC}{NK}=\color{red}{k}\]
Или, что то же самое:
\[\begin{align}AB &= \color{red}{k}\cdot MN \\ BC &= \color{red}{k}\cdot NK \\ \end{align}\]
Площадь треугольника $MNK$:
\[{{S}_{\Delta MNK}}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot NK\cdot \sin \color{blue}{\alpha} \]
Площадь треугольника $ABC$:
\[\begin{align}{{S}_{\Delta ABC}} &=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\color{blue}{\alpha} = \\ &=\frac{1}{2}\cdot\color{red}{k}\cdot MN\cdot\color{red}{k}\cdot NK\cdot \sin\color{blue}{\alpha} = \\ &={\color{red}{k}^{2}}\cdot \frac{1}{2}\cdot MN\cdot NK\cdot \sin \alpha = \\ &={\color{red}{k}^{2}}\cdot {{S}_{\Delta MNK}} \end{align}\]
Получаем равенство
\[{{S}_{\Delta ABC}}={\color{red}{k}^{2}}\cdot {{S}_{\Delta MNK}}\]
Перепишем в виде отношения:
\[\frac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta MNK}}}={\color{red}{k}^{2}}\]
Что и требовалось доказать.
Для доказательства теоремы мы использовали формулу площади треугольника:
\[{{S}_{\Delta }}=\frac{1}{2}ab\sin \alpha \]
Тригонометрию проходят после подобия, поэтому мы опираемся на ещё не изученный материал.
Впрочем, ничто не мешает взять уже известную формулу:
\[{{S}_{\Delta }}=\frac{1}{2}ah\]
Здесь $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Дело в том, что высоты в подобных треугольниках тоже пропорциональны. И не только высоты. Назовём это Свойством 3.3.:)
Теорема 4. Отношение высот, биссектрис и медиан, проведённых к соответствующим сторонам подобных треугольников, равно коэффициенту подобия.
Проиллюстрируем это на высотах. Пусть треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны:
В этом случае высоты $CD\bot AB$ и $KL\bot MN$ относятся как
\[\frac{CD}{KL}=\frac{AB}{MN}= \color{red}{k}\]
Для доказательства этой теоремы нужно знать признаки подобия. Поэтому оставим его до следующего урока. А сейчас переходим к задачам.
Здесь разобрано пять задач на подобие треугольников. Все они довольно простые. За сложными задачами добро пожаловать в задачник.:)
Известно, что треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны, причём $\angle A=\angle M$, $\angle B=\angle N$, $\angle C=\angle K$. Кроме того, стороны $AB=6$, $BC=7$, $AC=10$ и $MN=9$. Найдите стороны $NK$ и $MK$.
Решение. Построим треугольники $ABC$ и $MNK$, отметим известные стороны:
Из условия $\Delta ABC\sim \Delta MNK$ следует, что верно равенство
\[\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NK}=\frac{AC}{MK}\]
Подставим в это равенство всё, что нам известно:
\[\frac{\color{red}{6}}{\color{red}{9}}=\frac{\color{red}{7}}{NK}=\frac{\color{red}{10}}{MK}\]
Опустим последнюю дробь и получим пропорцию
\[\frac{\color{red}{6}}{\color{red}{9}}=\frac{\color{red}{7}}{NK}\]
Найдём сторону $NK$:
\[NK=\frac{\color{red}{9}\cdot \color{red}{7}}{\color{red}{6}}=10,5\]
Аналогично, убирая среднюю дробь, получим пропорцию
\[\frac{\color{red}{6}}{\color{red}{9}}=\frac{\color{red}{10}}{MK}\]
Найдём сторону $MK$:
\[NK=\frac{\color{red}{9}\cdot \color{red}{10}}{\color{red}{6}}=15\]
Ответ: $NK=10,5$, $MK=15$.
Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$. Найдите:
а) Отрезок $BD$, если $AB=16$, $AC=20$, $DE=15$.
б) Отрезок $AD$, если $AB=28$, $BC=63$, $BE=27$.
Решение. Для начала построим рисунок. Он будет общий для обоих пунктов.
Из условия следует, что прямая $DE$ пересекает стороны треугольника $ABC$:
Поскольку $DE\parallel AC$, по лемме о подобных треугольниках прямая $DE$ отсекает от треугольника $ABC$ новый треугольник, подобный исходному:
\[\Delta ABC\sim \Delta DBE\]
Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует равенство
\[\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC}{DE}\]
Решаем пункт а). Подставляем в это равенство всё, что нам известно:
\[\frac{\color{red}{16}}{DB}=\frac{BC}{BE}=\frac{\color{red}{20}}{\color{red}{15}}\]
Вычёркиваем среднюю дробь и получаем пропорцию
\[\frac{\color{red}{16}}{DB}=\frac{\color{red}{20}}{\color{red}{15}}\]
Отсюда легко найти $DB$ (или, что то же самое, $BD$):
\[DB=\frac{\color{red}{16}\cdot\color{red}{15}}{\color{red}{20}}=12\]
Аналогично решаем пункт б). Подставляем в исходное равенство известные величины:
\[\frac{\color{red}{28}}{DB}=\frac{\color{red}{63}}{\color{red}{27}}=\frac{AC}{DE}\]
Первые две дроби образуют пропорцию, из которой вновь легко найти $DB$:
\[DB=\frac{\color{red}{28}\cdot\color{red}{27}}{\color{red}{63}}=12\]
Осталось найти $AD$:
\[\begin{align}AD &=AB-BD= \\ &=\color{red}{28}-\color{red}{12}=16 \end{align}\]
Ответ: а) $BD=12$; б) $AD=16$.
Важное замечание по работе с пропорциями. Ни в коем случае не нужно перемножать числа в числителе.
Напротив: нужно разложить их на множители и сократить!
Взгляните:
\[DB=\frac{\color{red}{28}\cdot\color{red}{27}}{\color{red}{63}}=\frac{4\cdot\color{blue}{7}\cdot 3\cdot\color{green}{9}}{\color{blue}{7}\cdot\color{green}{9}}=12\]
Так вы сэкономите время, избежите умножения столбиком и защитите себя от множества ошибок. Никогда не умножайте большие числа, если дальше их нужно будет сокращать.
Точки $M$ и $K$ — середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Докажите, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны.
Решение. Сделаем первоначальный рисунок по условию задачи:
Здесь нет прямых, параллельных сторонам треугольника, поэтому лемма о подобных треугольниках не поможет. Докажем подобие по определению.
Сначала разберёмся с углами. Поскольку $ABCD$ — квадрат, и $KD=MD$ — половина стороны квадрата, треугольники $MDK$ и $BCD$ — прямоугольные и равнобедренные.
Все острые углы треугольников $MDK$ и $BCD$ равны 45°. Можем записать это так:
\[\begin{align}\angle BCD &=\angle MDK={90}^\circ \\ \angle CBD &=\angle DMK={45}^\circ \\ \angle CDB &=\angle DKM={45}^\circ \\ \end{align}\]
Дополнительное построение: диагональ квадрата $\color{red}{AC}$:
Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KM$ — средняя линия, поэтому $KM={\color{red}{AC}}/{2}\;$. С другой стороны, $AC=BD$ как диагонали квадрата. Поэтому верно равенство
\[\frac{KM}{BD}=\frac{KM}{\color{red}{AC}}=\frac{1}{2}\]
Но тогда выполняется следующее равенство:
\[\frac{MD}{BC}=\frac{DK}{CD}=\frac{MK}{BD}=\frac{1}{2}\]
А это вместе с равенством углов как раз и означает, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны:
\[\Delta MDK\sim \Delta BCD\]
Доказательство завершено.
Мы доказали подобие треугольников по определению. Если пользоваться признаками подобия, всё будет намного быстрее. Но пока мы не вправе пользоваться этими признаками.
В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEK$ так, как показано на рисунке. Найдите сторону ромба, если $AB=10$, $BC=15$.
Решение. Пусть искомая сторона ромба равна $\color{red}{x}$. Из условия задачи получим такой рисунок:
Зная, что $AB=10$ и $BC=15$, выразим $AK$ и $CD$:
\[\begin{align}AK &=10-\color{red}{x} \\ CD &=15-\color{red}{x} \\ \end{align}\]
Далее рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $BDEK$ — ромб, то $KE\parallel BC$. По лемме о подобных треугольниках имеем:
\[\Delta ABC\sim \Delta AKE\]
В подобных треугольниках подобные стороны пропорциональны, поэтому
\[\frac{AB}{AK}=\frac{BC}{KE}=\frac{AC}{AE}\]
Подставим в это равенство всё, что нам известно или выражено через $\color{red}{x}$:
\[\frac{10}{10-\color{red}{x}}=\frac{15}{\color{red}{x}}=\frac{AC}{AE}\]
Последняя дробь оказалась бесполезной. Вычеркнем её и получим пропорцию:
\[\frac{10}{10-\color{red}{x}}=\frac{15}{\color{red}{x}}\]
Применяем основное свойство пропорции и уравнение:
\[\begin{align}10\cdot\color{red}{x} &=15\cdot \left( 10- \color{red}{x} \right) \\ 2\cdot\color{red}{x} &=3\cdot \left( 10- \color{red}{x} \right) \\ &\cdots\\ \color{red}{x} &=6 \end{align}\]
Это и есть искомая сторона ромба. Она равна $\color{red}{x}=6$.
Ответ: $BD=6$.
В треугольнике $ABC$ стороны $AB=8$, $BC=12$, угол $ABC={120}^\circ $. Отрезок $BD$ — биссектриса. Найдите длину $BD$.
Решение. Из условия задачи можно сделать вот такой рисунок:
Поскольку $BD$ — биссектриса угла в треугольнике, точка $D$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные сторонам $AB$ и $BC$. Это можно записать так:
\[\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CB}=\frac{\color{red}{8}}{\color{red}{12}}=\frac{\color{red}{2}}{\color{red}{3}}\]
Обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $AD=\color{blue}{2x}$, $CD=\color{blue}{3x}$.
Дополнительное построение: прямая $DM\parallel AB$:
Рассмотрим угол $ACB$. Поскольку $DM\parallel AB$, по теореме о пропорциональных отрезках получаем, что
\[\frac{BM}{CM}=\frac{AD}{CD}=\frac{\color{red}{2}}{\color{red}{3}}\]
Вновь обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $BM=\color{blue}{2y}$, $CM=\color{blue}{3y}$. Но тогда
\[BC=BM+MC=\color{blue}{5y}=\color{red}{12}\]
Получаем, что $\color{blue}{y}=\color{red}{2,4}$. Отсюда легко найти длину $BM$:
\[BM=\color{blue}{2y}=2\cdot\color{red}{2,4}= \color{red}{4,8}\]
Далее заметим, что если угол $ABC$ равен 120°, то
\[\angle ABD=\angle CBD={60}^\circ \]
С другой стороны, прямые $AB$ и $MD$ параллельны по построению. Прямая $BD$ — секущая для этих параллельных прямых.
Следовательно, углы $ABD$ и $BDM$ — внутренние накрест лежащие, поэтому
\[\angle BDM=\angle ABD={60}^\circ \]
Рассмотрим треугольник $BDM$. В нём есть два угла по 60°. Следовательно, это равносторонний треугольник:
\[BD=BM=\color{red}{4,8}\]
Мы нашли длину отрезка $BD$. Задача решена.
Ответ: $BD=4,8$.
Итак, с определением разобрались. В следующем уроке разберём признаки подобия.:)
