Комбинаторика в задаче B6: легкий тест

26 декабря 2011

Данный тест состоит из 14 задач, которые помогут вам разобраться в основах комбинаторики. Это еще не теория вероятностей, но без подобной практики многие настоящие задачи B6 просто не решаются.

Чтобы решить задачи этого теста (как, впрочем, и все сложные задачи по теории вероятностей) надо знать две формулы: число сочетаний и закон умножения.

Начнем с числа сочетаний. Пусть у нас есть n предметов, из которых надо выбрать k предметов, причем порядок выбора нам не важен. Тогда общее число вариантов выбора обозначается C n k и считается по формуле:

Число сочетаний из n элементов по k

Обратите внимание: по условию, k < n, поэтому значение C n k всегда будет целым. Данная формула настолько важна, что у нее есть даже собственное название.

Величина, которая обозначается C n k и считается по приведенной выше формуле, называется числом сочетаний из n возможных элементов по k элементов.

Задача. У студента есть 5 книг, из которых надо прочитать ровно 2. Сколькими способами можно выбрать эти книги?

Итак, у нас есть n = 5 книг, из которых надо выбрать k = 2 книги. По формуле C n k имеем:

Число сочетаний из 5 по 2

Таким образом, у студента есть 10 вариантов, какие 2 книги читать.

Теперь разберемся с законом умножения. Тут все просто: когда требуется выбрать несколько предметов из одного набора, и несколько — из другого, причем эти наборы независимы, то соответствующие сочетания просто умножаются друг на друга.

Когда вы поймете, о чем речь, и немного потренируетесь, это правило станет очевидным. Остальным же понять, что написано в предыдущем абзаце, можно только с помощью внушительной дозы «успокаивающих» препаратов. Поэтому разберем закон умножения на конкретном примере.

Задача. У Пети есть 7 монет по 1 рублю и 3 монеты по 2 рубля. Петя случайным образом выбирает 1 монету номиналом 1 рубль и 1 монету номиналом 2 рубля. Сколькими способами он может это сделать?

Для начала выясним, сколькими способами Петя может выбрать 1 монету из 7 имеющихся номиналом 1 рубль:

Число сочетаний из 7 по 1

Аналогично, найдем число способов выбрать 1 монету номиналом 2 рубля из имеющихся 3 монет:

Число сочетаний из 3 по 1

Теперь, согласно закону умножения, найдем общее число способов: X = C 7 1 · C 3 1 = 7 · 3 = 21.

Как видите, ничего сложного нет. Поэтому вперед — решать задачи и оттачивать мастерство в сокращении факториалов! И помните, что в ответах могут получаться довольно зверские числа.

Смотрите также:
  1. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
  2. Правила комбинаторики в задаче B6
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
  4. Площадь круга
  5. Периодические десятичные дроби
  6. Наибольшее и наименьшее значение