Правила вычисления производных

7 апреля 2011

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx:

Опеределение производной

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Название Функция Производная
Константа f(x) = C, CR 0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем f(x) = x n n · x n − 1
Синус f(x) = sin x cos x
Косинус f(x) = cos x − sin x (минус синус)
Тангенс f(x) = tg x 1/cos2 x
Котангенс f(x) = ctg x − 1/sin2 x
Натуральный логарифм f(x) = ln x 1/x
Произвольный логарифм f(x) = log a x 1/(x · ln a)
Показательная функция f(x) = e x e x (ничего не изменилось)

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

(C · f)’ = C · f ’.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2.

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

  1. (f + g)’ = f ’ + g
  2. (fg)’ = f ’ − g

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность fg можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

Ответ:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x 2 + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike">равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x − 7) · e x .

Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos xx · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x 2 + 7x − 7) · e x )’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x )’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x .

Ответ:
f ’(x) = x 2 · (3cos xx · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e x .

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

Производная частного

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

Дробно-рациональные функции

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:

Производная дробно-рациональной функции f
Производная дробно-рациональной функции g

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Вынесение множителей за скобку

Ответ:

Производные частного

Производная сложной функции

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x, скажем, на x 2 + ln x. Получится f(x) = sin (x 2 + ln x) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f(x) = e 2x + 3; g(x) = sin (x 2 + ln x)

Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t )’ · t ’ = e t · t

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t. Имеем:

g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t

Обратная замена: t = x 2 + ln x. Тогда:

g ’(x) = cos (x 2 + ln x) · (x 2 + ln x)’ = cos (x 2 + ln x) · (2x + 1/x).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos (x 2 + ln x).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

(x n )’ = n · x n − 1

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Производная сложной функции

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f(x) = (x 2 + 8x − 7)0,5.

Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8x − 7 = t. Находим производную по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x 2 + 8x − 7. Имеем:

f ’(x) = 0,5 · (x 2 + 8x − 7)−0,5 · (x 2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x 2 + 8x − 7)−0,5.

Наконец, возвращаемся к корням:

Производная степени с рациональным показателем

Ответ:

Дробно-рациональная функция с корнем
Смотрите также:
  1. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
  2. Уравнение касательной к графику функции
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 5 (без производных)
  5. Показательные функции в задаче B15
  6. Как решать задачи про летающие камни?