Второй замечательный предел: основная формула, доказательство, следствия и примеры.
Второй замечательный предел:
\[\lim\limits_{n\to +\infty } {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=\text{e}\]
Число $\text{e}$ иррациональное:
\[\text{e}=2,718\ 281\ 828\ 459...\]
Второй замечательный предел можно рассматривать и как предел последовательности для $n\in \mathbb{N}$, и как предел функции — в этом случае $n\in \mathbb{R}$.
Сначала докажем существование предела для $n\in \mathbb{N}$.
1. Рассмотрим последовательность
\[{{y}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\]
Запишем несколько её первых членов:
\[\begin{array}{l|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline {{y}_{n}} & 2,00 & 2,25 & \approx 2,37 & \approx 2,44 \\ \end{array}\]
Видим, что последовательность монотонно возрастает. Но кто сказал, что так будет всегда?
2. Докажем, что последовательность ${{y}_{n}}$ возрастает всегда. Для этого вспомним формулу Бинома Ньютона:
\[\begin{align} {{\left( a+b \right)}^{n}} & =\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}= \\ & =1\cdot {{a}^{n}}+n\cdot {{a}^{n-1}}b+\frac{n\left( n-1 \right)}{1\cdot 2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+ \\ & +\ldots +\frac{n\left( n-1 \right)\cdot \ldots \cdot \left( n-\left( n-1 \right) \right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}{{b}^{n}} \end{align}\]
Здесь мы переписали биноминальные коэффициенты $C_{n}^{k}$ в специальном виде:
\[\begin{align} C_{n}^{k} & =\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}= \\ & =\frac{n\left( n-1 \right)\cdot \ldots \cdot \left( n-k \right)\cdot \ldots \cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot k\cdot \left( n-k \right)\cdot \ldots \cdot 1}= \\ & =\frac{n\left( n-1 \right)\cdot \ldots \cdot \left( n-\left( k-1 \right) \right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot k} \end{align}\]
Если вам не понятно, что такое формула Бинома Ньютона, биноминальные коэффициенты и какие у них свойства — обязательно повторите урок про Бином Ньютона.
Теперь положим $a=1$, $b={1}/{n}\;$:
\[\begin{align} {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}} & =\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}\cdot {{1}^{n-k}}\cdot \frac{1}{{{n}^{k}}}}= \\ & =1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n\left( n-1 \right)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{{{n}^{k}}}+ \\ & +\ldots +\frac{n\left( n-1 \right)\cdot \ldots \cdot \left( n-\left( n-1 \right) \right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}\cdot \frac{1}{{{n}^{n}}} \end{align}\]
Перепишем эту сумму так:
\[{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=1+1+{{S}_{2}}+\ldots +{{S}_{n}}\]
где слагаемые ${{S}_{k}}$ считаются по формуле
\[\begin{align} {{S}_{k}} & =\frac{n\left( n-1 \right)\cdot \ldots \cdot \left( n-\left( k-1 \right) \right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot k}\cdot \frac{1}{{{n}^{k}}}= \\ & =\frac{1}{k!}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot \ldots \cdot \frac{n-\left( k-1 \right)}{n}= \\ & =\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n} \right)\left( 1-\frac{2}{n} \right)\cdot \ldots \cdot \left( 1-\frac{k-1}{n} \right) \end{align}\]
В последней строке мы видим дробь с факториалом и ровно $k-1$ множителей-скобок. С ростом $n$ каждая такая скобка растёт, поэтому растёт и ${{S}_{k}}$:
\[\begin{align} {{S}_{k}} & =\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n} \right)\left( 1-\frac{2}{n} \right)\cdot \ldots \cdot \left( 1-\frac{k-1}{n} \right) \lt \\ & \lt \frac{1}{k!}\cdot \left( 1-\frac{1}{n+1} \right)\cdot \left( 1-\frac{2}{n+1} \right)\cdot \ldots \cdot \left( 1-\frac{k-1}{n+1} \right) \\ \end{align}\]
Кроме того, cростом $n$ в сумме появляются новые слагаемые: ${{S}_{n+1}}$, затем ${{S}_{n+2}}$ и т.д. Все они положительны, поэтому сумма тоже растёт:
\[\begin{align} {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}} & =1+1+{{S}_{2}}+\ldots +{{S}_{n}} \lt \\ & \lt 1+1+{{S}_{2}}+\ldots +{{S}_{n}}+{{S}_{n+1}}= \\ & ={{\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)}^{n+1}} \\ \end{align}\]
Итак, мы доказали, что последовательность $\left\{ {{y}_{n}} \right\}$ возрастает. Теперь докажем её ограниченность, чтобы применить теорему Вейерштрасса.
3. В самом деле, слагаемые ${{S}_{k}}$ составлены из множителей-скобок, каждая из которых меньше единицы:
\[\begin{align} {{S}_{k}} & =\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n} \right)\left( 1-\frac{2}{n} \right)\cdot \ldots \cdot \left( 1-\frac{k-1}{n} \right) \lt \\ & \lt \frac{1}{k!}\cdot 1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1=\frac{1}{k!} \\ \end{align}\]
Кроме того, факториалы растут быстрее, чем степени двойки:
\[\begin{align} {{S}_{k}} & \lt \frac{1}{k!}=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot k} \lt \\ & \lt \frac{1}{1\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}=\frac{1}{{{2}^{k-1}}} \\ \end{align}\]
Поэтому сумма таких слагаемых ${{S}_{k}}$ тоже ограничена:
\[\begin{align} {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}} & =1+1+{{S}_{2}}+\ldots +{{S}_{n}} \lt \\ & \lt 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\ldots +\frac{1}{{{2}^{n}}} \\ \end{align}\]
Слагаемые, начиная со второго образуют убывающую геометрическую прогрессию $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$, где ${{b}_{1}}=1$, $q={1}/{2}\;$. Её сумма ограничена:
\[\begin{align} & 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\ldots +\frac{1}{{{2}^{n}}} \lt \\ \lt & 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\ldots +\frac{1}{{{2}^{n}}}+\ldots = \\ = & 1\cdot \frac{1-{{\left( {1}/{2}\; \right)}^{n}}}{1-\left( {1}/{2}\; \right)}=2 \\ \end{align}\]
Поэтому и вся последовательность $\left\{ {{y}_{n}} \right\}$ тоже ограничена:
\[\begin{align} {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}} & \lt 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\ldots \frac{1}{{{2}^{n}}} \lt \\ & \lt 1+2=3 \\ \end{align}\]
Мы доказали ограниченность. Теперь настало время теоремы Вейерштрасса.
4. Итак, последовательность $\left\{ {{y}_{n}} \right\}$ возрастает (доказано в п.2) и ограничена (доказано в п.3). Следовательно, по теореме Вейерштрасса у этой последовательности есть предел, который мы обозначим буквой $\text{e}$:
\[\lim\limits_{x\to n} {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=\text{e}\]
Формула второго замечательного предела доказана.
Обратите внимание. Число $\text{e}$ равно второму замечательному пределу по определению.
Чтобы найти его приближённое значение и тем более доказать иррациональность, нужны совсем другие (и весьма объёмные) выкладки. Этому будет посвящён отдельный урок.
Пункты 1—2 являются прямыми следствиями второго замечательного предела. Пункты 3—4 наверняка знакомы вам из лекции про эквивалентные бесконечно малые функции.
