Критерий Коши — это замечательная теорема, с помощью которой можно понять, есть ли у последовательности предел, не вычисляя заранее самого предела. Сегодня мы сформулируем и докажем этот критерий.
Содержание:
Начнём с краткой вводной. Перечислим ключевые определения: что такое числовая последовательность, предел последовательности и зачем вообще мы тут собрались.
Определение. Числовая последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ — это функция $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, которая каждому натуральному числу $n\in \mathbb{N}$ ставит в соответствие действительное число ${{x}_{n}}=f\left( n \right)$.
Определение. Число $A$ называется пределом последовательности$\left\{ {{x}_{n}} \right\}$, если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся такое $M=M\left( \varepsilon \right)\in \mathbb{N}$, что для всех $n \gt M$ выполняется условие $\left| {{x}_{n}}-A \right| \lt \varepsilon $.
Записывается предел так:
\[\lim\limits_{n\to \infty } {{x}_{n}}=A\]
Определение. Последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ называется сходящейся, если у неё существует конечный предел $\lim\limits_{n\to \infty } {{x}_{n}}=A$.
И в переводе на русский язык эти определения следует понимать так:
Если для последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ существует некое число $A$ такое, что какой бы отступ $\varepsilon \gt 0$ от этого числа мы ни взяли, начиная с какого-то момента все члены последовательности лежат в пределах этого отступа — вот в этом случае последовательность называется сходящейся, а число $A$ называется её пределом:
\[\begin{align} & \lim\limits_{n\to \infty } {{x}_{n}}=A\Leftrightarrow \\ & \forall \left( \varepsilon \gt 0 \right)\quad \exists \left( M=M\left( \varepsilon \right)\in \mathbb{N} \right): \\ & \forall \left( n \gt M \right)\quad A-\varepsilon \lt {{x}_{n}} \lt A+\varepsilon \\ \end{align}\]
Предел последовательности — это всегда именно число. Не функция, не формула, а именно число.
Не всякая последовательность сходится, т.е. имеет предел. Например, легко показать, что ${{x}_{n}}={1}/{x}\;$ сходится:
\[\lim\limits_{n\to \infty } \frac{1}{n}=0\]
Не менее очевидно и то, что последовательность ${{x}_{n}}={{n}^{2}}$ расходится:
\[\lim\limits_{x\to \infty } {{x}^{2}}=+\infty \]
Но что делать, например, вот с такой последовательностью?
\[{{x}_{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}\]
С одной стороны, она растёт. С другой — на каждом шаге этот рост замедляется. При этом у нас даже нет числа-кандидата на роль предела.
Вот здесь к делу подключается критерий Коши.
Чтобы сформулировать критерий Коши, полезно ввести ещё одно определение.
Определение. Последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ называется фундаментальной (или последовательность Коши), если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся такое $M=M\left( \varepsilon \right)\in \mathbb{N}$, что для всех $m \gt M$ и $n \gt M$ выполнено условие $\left| {{x}_{n}}-{{x}_{m}} \right| \lt \varepsilon $.
На языке кванторов это записывается так. Последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ — фундаментальная, если
\[\begin{align} & \forall \left( \varepsilon \gt 0 \right)\quad \exists \left( M=M\left( \varepsilon \right)\in \mathbb{N} \right): \\ & \forall \left( m,n \gt M \right)\quad \left| {{x}_{m}}-{{x}_{n}} \right| \lt \varepsilon \\ \end{align}\]
Проще говоря, последовательность фундаментальная, если какой бы отступ мы ни взяли, начиная с какого-то момента любые два члена этой последовательности находятся друг к другу ближе, чем этот отступ.
И вот для таких последовательностей можно сформулировать главную теорему.
Критерий Коши. Числовая последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная.
Другими словами, если последовательность фундаментальная, то у неё есть предел. И наоборот: если у последовательности есть предел, то она точно фундаментальная.
Обратите внимание: перед нами именно критерий:
Но перед тем как применять теорему на практике, давайте докажем её.
Доказательство состоит из двух частей:
Пусть известно, что $\lim\limits_{n\to \infty } {{x}_{n}}=A$. Тогда зафиксируем $\varepsilon \gt 0$ и найдём такое $M=M\left( \varepsilon \right)\in \mathbb{N}$, чтобы для всяких $m \gt M$ и $n \gt M$ выполнялись неравенства
\[\left| {{x}_{m}}-A \right| \lt \frac{\varepsilon }{2}\quad \left| {{x}_{n}}-A \right| \lt \frac{\varepsilon }{2}\]
Но тогда
\[\left| {{x}_{n}}-{{x}_{m}} \right|=\left| {{x}_{n}}-A+A-{{x}_{m}} \right|\le \left| {{x}_{n}}-A \right|+\left| A-{{x}_{m}} \right| \lt \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \]
\[\begin{align} \left| {{x}_{n}}-{{x}_{m}} \right| & =\left| {{x}_{n}}-A+A-{{x}_{m}} \right|\le\\ & \le \left| {{x}_{n}}-A \right|+\left| A-{{x}_{m}} \right| \lt \\ & \lt \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon\\ \end{align}\]
Итак, для всех $m \gt M$, $n \gt M$ выполняется условие $\left| {{x}_{n}}-{{x}_{m}} \right| \lt \varepsilon $. Следовательно, последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ фундаментальная.
Пусть последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ фундаментальная. Тогда для всякого $\varepsilon \gt 0$ найдётся число $M=M\left( \varepsilon \right) \gt 0$ такое, что для любых $m \gt M$ и $n \gt M$ выполняется условие $\left| {{x}_{n}}-{{x}_{m}} \right| \lt {\varepsilon }/{3}\;$. Построим доказательство, основываясь на этом факте.
1. Для начала зафиксируем какое-нибудь натуральное $S \gt M$. Тогда для всякого $n \gt S \gt M$ выполняется то же самое условие $\left| {{x}_{n}}-{{x}_{S}} \right| \lt {\varepsilon }/{3}\;$. Или, что то же самое:
\[\forall \left( n \gt S \right)\quad {{x}_{S}}-\frac{\varepsilon }{3} \lt {{x}_{n}} \lt {{x}_{S}}+\frac{\varepsilon }{3}\]
Другими словами, после $S$-го члена последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ ограничена. Вместе с тем множество $\left\{ {{x}_{1}};\ldots ;{{x}_{S}} \right\}$ конечно и потому тоже ограничено. Следовательно, вся последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ ограничена, и у неё, а также у любой её подпоследовательности существует точная верхняя грань $\inf {{x}_{n}}$ и точная нижняя грань $\sup {{x}_{n}}$.
2. Теперь рассмотрим величины
\[{{a}_{n}}=\underset{k\ge n}{\mathop{\inf }}\,{{x}_{n}}\quad {{b}_{n}}=\underset{k\ge n}{\mathop{\sup }}\,{{x}_{n}}\]
Подставляя разные $n\in \mathbb{N}$, можно получить множество точных нижних граней $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ и множество точных верхних граней $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$, причём
\[{{a}_{n}}\le {{a}_{n+1}}\le {{b}_{n+1}}\le {{b}_{n}}\]
потому что каждая следующая грань берётся на меньшем множестве, чем предыдущая, и в таких условиях точные нижние грани не могут становиться меньше, а точные верхние — больше.
Но тогда мы получаем последовательность вложенных отрезков
\[\left[ {{a}_{1}};{{b}_{1}} \right]\supset \left[ {{a}_{2}};{{b}_{2}} \right]\supset \ldots \supset \left[ {{a}_{S}};{{b}_{S}} \right]\supset \ldots \]
По лемме о вложенных отрезках такая последовательность обязательно имеет общую точку $A$:
\[\forall \left( n\in \mathbb{N} \right)\quad {{a}_{n}}\le A\le {{b}_{n}}\]
3. Финальный шаг доказательства. Поскольку утверждение об общей точке $A$ верно для всех $n\in \mathbb{N}$, то в частности оно верно и для $n \gt S$:
\[\forall \left( n \gt S \right)\quad {{a}_{n}}\le A\le {{b}_{n}}\]
Также из п.1 доказательства мы знаем, что для $n \gt S$ выполняется условие:
\[\forall \left( n \gt S \right)\quad {{x}_{S}}-\frac{\varepsilon }{3} \lt {{x}_{n}} \lt {{x}_{S}}+\frac{\varepsilon }{3}\]
Разобьём это условие на два отдельных неравенства и оценим величину ${{a}_{n}}$ и ${{b}_{n}}$:
\[\begin{align} & {{x}_{n}} \gt {{x}_{S}}-\frac{\varepsilon }{3}\Rightarrow {{a}_{n}}=\underset{k\ge n}{\mathop{\inf }}\,{{x}_{k}}\ge{{x}_{S}}-\frac{\varepsilon }{3} \\ & {{x}_{n}} \lt {{x}_{S}}+\frac{\varepsilon }{3}\Rightarrow {{b}_{n}}=\underset{k\ge n}{\mathop{\sup }}\,{{x}_{k}}\le {{x}_{S}}+\frac{\varepsilon }{3} \\ \end{align}\]
С учётом того, что ${{a}_{n}}\le A\le {{b}_{n}}$ получим
\[{{x}_{S}}-\frac{\varepsilon }{3}\le {{a}_{n}}\le A\le {{b}_{n}}\le {{x}_{S}}+\frac{\varepsilon }{3}\]
Получается, что для $n \gt S$ выполняется два условия:
\[\begin{align} & {{x}_{S}}-\frac{\varepsilon }{3} \lt {{x}_{n}} \lt {{x}_{S}}+\frac{\varepsilon }{3} \\ & {{x}_{S}}-\frac{\varepsilon }{3}\le A\le {{x}_{S}}+\frac{\varepsilon }{3} \\ \end{align}\]
Перепишем их как $\left| {{x}_{n}}-{{x}_{S}} \right| \lt {\varepsilon }/{3}\;$ и $\left| A-{{x}_{S}} \right|\le {\varepsilon }/{3}\;$ при $n \gt S$. Окончательно получим
\[\left| {{x}_{n}}-A \right|=\left| {{x}_{n}}-{{x}_{S}}+{{x}_{S}}-A \right|\le \left| {{x}_{n}}-{{x}_{S}} \right|+\left| {{x}_{S}}-A \right|\le \frac{2\varepsilon }{3} \lt \varepsilon \]
\[\begin{align} \left| {{x}_{n}}-A \right| & = \left| {{x}_{n}}-{{x}_{S}}+{{x}_{S}}-A \right|\le \\ & \le \left| {{x}_{n}}-{{x}_{S}} \right|+\left| {{x}_{S}}-A \right|\le \\ & \le \frac{2\varepsilon }{3} \lt \varepsilon \\ \end{align}\]
Получили не что иное как определение предела последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$, равного числу $A$:
\[\begin{align} & \forall \left( \varepsilon \gt 0 \right)\quad \exists \left( S\in \mathbb{N} \right): \\ & \forall \left( n \gt S \right)\quad \left| {{x}_{n}}-A \right| \lt \varepsilon \\ \end{align}\]
Вот и всё. Теорема доказана.
При первом прочтении может показаться, что доказательство критерия Коши слишком сложное, объёмное и недоступное для понимания. Но при ближайшем рассмотрении вы заметите, что всё доказательство сводится к трём простым фактам:
Не пытайтесь зубрить формулы из доказательства. Зубрёжка — вообще плохой помощник в высшей математике (да и в школьной тоже). Просто помните идею, а формулы и конкретные числа после небольшой тренировки вы придумаете сами.
Кстати, сам Коши, когда доказывал эту теорему, рассматривал как нечто само собой разумеющееся тот факт, что последовательность вложенных отрезков имеет общую точку. Но для строго доказательства теоремы нужно убедиться в существовании такой точки.
Поэтому нужна ссылка на лемму о вложенных отрезках. Ведь, например, для вложенных интервалов эта лемма уже неверна — достаточно рассмотреть интервалы вида ${{I}_{n}}=\left( 0;{{2}^{-n}} \right)$, где $n\in \mathbb{N}$. Мы тоже получим последовательность вложенных множеств, однако не существует ни единой точки, которая принадлежала бы сразу всем множествам такого вида.
Эта тонкость уходит корнями к понятию открытых и замкнутых множеств, а также к понятию предельных точек множества. Но это уже шаг из матанализа в сторону топологии. И это тема для отдельного урока.:)
