Извлечение корня из комплексного числа

Третий урок по комплексным числам. В этом уроке вы узнаете:

  1. Определение комплексного корня;
  2. Основная формула — как извлекать корни;
  3. Геометрическая интерпретация;
  4. Почему корней всегда ровно n;
  5. Краткие выводы — если лень читать урок.:)

Начнём с ключевого определения.

1. Определение комплексного корня

Определение. Корнем $n$-й степени из комплексного числа $z$, где $n\in \mathbb{N}$, $n \gt 1$, называется такое комплексное число $\omega $, что

\[{{\omega }^{n}}=z\]

т.е. $n$-я степень числа $\omega $ равна $z$.

Таких корней на множестве комплексных чисел всегда будет ровно $n$ штук. Все они обозначаются привычным знаком радикала:

\[\omega =\sqrt[n]{z}\]

Пример. Вычислить $\sqrt[3]{-1}$ на множестве комплексных чисел.

Очевидно, привычная нам единица является таким корнем, потому что ${{\left( -1 \right)}^{3}}=-1$. Но есть ещё два корня:

\[\begin{align} {{\left( \frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}} &={{\left( 1\cdot \left( \cos \frac{\pi }{3}+i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right) \right)}^{3}}= \\ & =1\cdot \left( \cos \pi +i\sin \pi \right)=-1 \\ {{\left( \frac{1}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}} &={{\left( 1\cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi }{3} \right)+i\cdot \sin \left( -\frac{\pi }{3} \right) \right) \right)}^{3}}= \\ & =1\cdot \left( \cos \left( -\pi \right)+i\sin \left( -\pi \right) \right)=-1 \end{align}\]

Итого три корня. Как и предполагалось.

Теорема. Для любого комплексного числа $z\ne 0$ существует ровно $n$ комплексных чисел, каждое из которых является корнем $n$-й степени из числа $z.$

Все эти корни считаются по следующей формуле.

2. Формула корней

Теорема. Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме:

\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]

Тогда все корни степени $n$ из этого числа можно найти по формуле:

\[\begin{align} \sqrt[n]{z} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) \\ k & \in \left\{ 0,1,2,...,n-1 \right\} \\ \end{align}\]

По сути, эта теорема является обратной к формуле Муавра:

\[{{z}^{n}}={{\left| z \right|}^{n}}\cdot \left( \cos n\varphi +i\sin n \varphi \right)\]

Почему степень всегда одна, а корней несколько — об этом в конце урока. Сейчас для нас главное — алгоритм извлечения корня из комплексного числа. Он состоит из четырёх шагов:

  1. Перевести комплексное число в тригонометрическую форму;
  2. Записать общую формулу корня степени $n$;
  3. Подставить в эту формулу $k=0$, затем $k=1$ и так до $k=n-1$.
  4. Получим $n$ комплексных корней. Вместе они и будут ответом.

В ответе всегда будет набор из $n$ чисел. Потому что невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа $z\ne 0$.

Пример. Вычислить $\sqrt[3]{-8i}$.

Представим число $-8i$ в тригонометрической форме:

\[\begin{align} -8i &=0+\left( -8 \right)\cdot i= \\ & =8\cdot \left( 0+\left( -1 \right)\cdot i \right)= \\ & =8\cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi }{2} \right)+i\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right) \right) \end{align}\]

Запишем формулу корней в общем виде:

\[\begin{align} \sqrt[3]{-8i} & =\sqrt[3]{8\cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi }{2} \right)+i\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right) \right)}= \\ & =\sqrt[3]{8}\cdot \left( \cos \frac{-\frac{\pi }{2}+2\pi k}{3}+i\sin -\frac{\frac{\pi }{2}+2\pi k}{3} \right)= \\ & =2\cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi k}{3} \right)+i\sin \left( -\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi k}{3} \right) \right) \\ \end{align}\]

Подставим $k=0$:

\[\sqrt[3]{-8i}=2\cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left( -\frac{\pi }{6} \right) \right)=\sqrt{3}-i\]

Подставим $k=1$:

\[\sqrt[3]{-8i}=2\cdot \left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right)=-2i\]

И, наконец, $k=2$:

\[\sqrt[3]{-8i}=2\cdot \left( \cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6} \right)=-\sqrt{3}-i\]

В ответе нужно указать все три числа: $-2i$; $\sqrt{3}-i$; $-\sqrt{3}-i$.

Ещё раз: подставляя разные $k$, мы будем получать разные корни. Всего таких корней будет ровно $n$. А если взять $k$ за пределами диапазона $\left\{ 0,1,...,n-1 \right\}$, то корни начнут повторяться, и ничего нового мы не получим.

3. Геометрическая интерпретация

Если отметить на комплексной плоскости все значения корня $n$-й степени из некоторого комплексного числа $z\ne 0$, то все они будут лежать на окружности с центром в начале координат и радиусом $R=\sqrt[n]{\left| z \right|}$. Более того: эти точки образуют правильный $n$-угольник.

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[3]{i}$.

Представим число $z=i$ в тригонометрической форме:

\[\begin{align} z & =1\cdot \left( 0+i\cdot 1 \right)= \\ & =1\cdot \left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right) \end{align}\]

Формула комплексных корней:

\[\sqrt[3]{z}=1\cdot \left( \cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{2\pi k}{3} \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{6}+\frac{2\pi k}{3} \right) \right)\]

Это три точки ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{z}_{3}}$ на окружности радиуса $R=1$:

Получили правильный треугольник. Его первая вершина лежит на пересечении окружности радиуса 1 и начального луча, который образован поворотом оси $OX$ на угол ${\pi }/{6}\;$.

Рассмотрим более сложный пример:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[4]{1+i}$.

Сразу запишем формулу корней с выделением начального луча:

\[\sqrt[4]{z}=\sqrt[8]{2}\cdot \left( \cos \left( \frac{\pi }{16}+\frac{\pi k}{2} \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{16}+\frac{\pi k}{2} \right) \right)\]

Отмечаем эти точки на комплексной плоскости. Радиус окружности $R=\sqrt[8]{2}$, начальный луч ${\pi }/{16}\;$:

И вновь всё чётко: четыре точки — правильный четырёхугольник, т.е. квадрат. С отклонением начального луча ${\pi }/{16}\;$.

Ну и ещё один пример — вновь без промежуточных вычислений. Только формулировка задачи, формула корней и окончательный чертёж:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[6]{-64}$.

Формула корней с выделением начального луча:

\[\sqrt[6]{z}=2\cdot \left( \cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3} \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3} \right) \right)\]

Получили правильный шестиугольник со стороной 2 и начальным лучом ${\pi }/{6}\;$.

Таким образом, мы получаем «графический» алгоритм извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $z\ne 0$:

  1. Перевести число в тригонометрическую форму;
  2. Найти модуль корня: $\sqrt[n]{\left| z \right|}$ — это будет радиусом окружности;
  3. Построить начальный луч с отклонением $\varphi ={\arg \left( z \right)}/{n}\;$;
  4. Построить все остальные лучи с шагом ${2\pi }/{n}\;$;
  5. Получим точки пересечения лучей с окружностью — это и есть искомые корни.

Такой алгоритм прекрасно работает, когда аргумент исходного числа и отклонение начального луча $\varphi $ — стандартные «табличные» углы вроде ${\pi }/{6}\;$. На практике чаще всего именно так и бывает. Поэтому берите на вооружение.:)

4. Почему корней всегда ровно n

С геометрической точки зрения, всё очевидно: если мы будем последовательно зачёркивать вершины правильного $n$-угольника, то ровно через $n$ шагов все вершины будут зачёркнуты. И для дальнейшего зачёркивания придётся выбирать вершину среди уже зачёркнутых.

Однако рассмотрим проблему с точки зрения алгебры. Ещё раз запишем формулу корня $n$-й степени:

\[\begin{align} \sqrt[n]{z} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) \\ k & \in \left\{ 0;1;2;...;n-1 \right\} \\ \end{align}\]

Последовательно подставим в эту формулу указанные значения параметра $k$:

\[\begin{align} {{\omega }_{0}} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi }{n}+i\sin \frac{\varphi }{n} \right) \\ {{\omega }_{1}} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi }{n} \right) \\ & ... \\ {{\omega }_{n-1}} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi \cdot \left( n-1 \right)}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi \cdot \left( n-1 \right)}{n} \right) \\ \end{align}\]

Очевидно, последняя строка получена при $k=n-1$. Подставим теперь $k=n$:

\[\begin{align} {{\omega }_{n}} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi n}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi n}{n} \right)= \\ & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \left( \frac{\varphi }{n}+2\pi \right)+i\sin \left( \frac{\varphi }{n}+2\pi \right) \right)= \\ & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi }{n}+i\sin \frac{\varphi }{n} \right)={{\omega }_{0}} \\ \end{align}\]

Поскольку синус и косинус — периодические функции с периодом $2\pi $, ${{\omega }_{n}}={{\omega }_{0}}$, и далее корни будут повторяться. Как мы и заявляли в самом начале урока.

5. Выводы

Ключевые факты из урока.

Определение. Корень степени $n$ из комплексного числа $z$ — это такое число $\omega $, что ${{\omega }^{n}}=z$.

Обозначение. Для обозначения комплексных корней используется знакомый знак радикала: $\omega =\sqrt[n]{z}$.

Замечание. Если $z\ne 0$, таких чисел корней будет ровно $n$ штук.

Алгоритм нахождения корней состоит из двух шагов.

Шаг 1. Представить исходное число в тригонометрической форме:

\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]

Шаг 2. Воспользоваться формулой Муавра для вычисления корней:

\[\begin{align} \sqrt[n]{z} & =\sqrt[n]{\left| z \right|}\cdot \left( \cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) \\ k & \in \left\{ 0;1;2;...;n-1 \right\} \\ \end{align}\]

Все полученные корни лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]{\left| z \right|}$ с центром в начале координат и являются вершинами правильного $n$-угольника. Первая вершина лежит на т.н. «начальном луче», который отклонён от положительной полуоси $OX$ на угол ${\varphi }/{n}\;$. Остальные вершины обычно легко находятся из соображений симметрии с помощью циркуля и линейки.

Геометрическую интерпретацию можно использовать для быстрого «графического» извлечения корней. Но это требует практики и хорошего понимания, что именно и зачем вы делаете. Технология такого извлечения корней описана выше в разделе «Геометрическая интерпретация».

Всё. В следующем уроке начнём решать уравнения в комплексных числах.:)

Смотрите также:
  1. Тригонометрическая форма комплексного числа
  2. Системы линейных уравнений: основные понятия
  3. Радианная мера угла
  4. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  5. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты
  6. Логарифмические уравнения в задаче C1