На уравнениях такого вида многие ученики «зависают». При этом сами задачи отнюдь не являются сложными — достаточно просто выполнить грамотную замену переменной, для чего следует научиться выделять устойчивые выражения.
В дополнение к этому уроку вас ждет довольно объемная самостоятельная работа, состоящая из двух вариантов по 6 задач в каждом.
Сегодня мы разберем два логарифмических уравнения, одно из которых не решается «напролом» и требует специальных преобразований, а второе... впрочем, не буду рассказывать все сразу. Смотрите видео, скачивайте самостоятельную работу — и учитесь решать сложные задачи.
Итак, группировка и вынесение общих множителей за скобку. Дополнительно я расскажу вам, какие подводные камни несет область определения логарифмов, и как небольшие замечания по области определений могут существенно менять как корни, так и все решение.
Начнем из группировки. Нам нужно решить следующее логарифмическое уравнение:
log2 x · log2 (x − 3) + 1 = log2 (x2 − 3x)
В первую очередь отметим, что x2 − 3x можно разложить на множители:
log2 x(x− 3)
Затем вспоминаем замечательную формулу:
loga fg = loga f + loga g
Сразу же небольшое замечание: данная формула прекрасно работает, когда а, f и g— обычные числа. Но когда вместо них стоят функции, данные выражения перестают быть равноправными. Представьте себе такую гипотетическую ситуацию:
f < 0; g < 0
В этом случае произведение fg будет положительным, следовательно, loga (fg) будет существовать, а вот loga f и loga g отдельно существовать не будут, и выполнить такое преобразование мы не сможем.
Игнорирование данного факта приведет к сужению области определения и, как следствие, к потере корней. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, нужно обязательно заранее убедиться, что функции f и g положительные.
В нашем случае все просто. Поскольку в исходном уравнении есть функция log2 x, то x > 0 (ведь переменная x стоит в аргументе). Также имеется log2 (x − 3), поэтому x − 3 > 0.
Следовательно, в функции log2 x(x − 3) каждый множитель будет больше нуля. Поэтому можно смело раскладывать произведение на сумму:
log2 x log2 (x − 3) + 1 = log2 x + log2 (x − 3)
log2 x log2 (x − 3) + 1 − log2 x− log2 (x − 3) = 0
На первый взгляд может показаться, что легче не стало. Напротив: количество слагаемых лишь увеличились! Чтобы понять, как действовать дальше, введем новые переменные:
log2 x = а
log2 (x − 3) = b
Получим:
a· b + 1 − a − b = 0
А теперь сгруппируем третье слагаемое с первым:
(a · b − a) + (1 − b) = 0
a(1 · b − 1) + (1 − b) = 0
Заметим, что и в первой, и во второй скобке стоит b− 1 (во втором случае придется вынести «минус» за скобку). Разложим нашу конструкцию на множители:
a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0
(b − 1)(а · 1 − 1) = 0
А теперь вспоминаем наше замечательно правило: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
b − 1 = 0 ⇒ b = 1;
a − 1 = 0 ⇒ a = 1.
Вспоминаем, что такое b и а. Получим два простейших логарифмических уравнения, в которых останется лишь избавиться от знаков logи приравнять аргументы:
log2 x = 1 ⇒ log2 x = log2 2 ⇒ x1 =2;
log2 (x − 3) = 1 ⇒ log2 (x − 3) = log2 2 ⇒ x2 = 5
Мы получили два корня, но это не решение исходного логарифмического уравнения, а лишь кандидаты в ответ. Теперь проверим область определения. Для первого аргумента:
x > 0
Оба корня удовлетворяют первому требованию. Переходим ко второму аргументу:
x − 3 > 0 ⇒ x > 3
А вот здесь уже x = 2 нас не удовлетворяет, зато x = 5 вполне нас устраивает. Следовательно, единственным ответом будет x = 5.
Переходим ко второму логарифмическому равнению. На первый взгляд, оно существенно проще. Однако в процессе его решения мы рассмотрим тонкие моменты, связанные с областью определения, незнание которых существенно усложняет жизнь начинающим ученикам.
log0,7 (x2 − 6x + 2) = log0,7 (7 − 2x)
Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Ничего преобразовывать не нужно — даже основания одинаковые. Поэтому просто приравниваем аргументы:
x2 − 6x + 2 = 7 − 2x
x2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0
x2 − 4x − 5 = 0
Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:
(x − 5) (x + 1) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = −1.
Но эти корни еще не являются окончательными ответами. Нужно найти область определения, поскольку в исходном уравнении присутствуют два логарифма, т.е. учет области определения строго обязателен.
Итак, выпишем область определения. С одной стороны, аргумент первого логарифма должен быть больше нуля:
x2 − 6x + 2 > 0
С другой — второй аргумент тоже должен быть больше нуля:
7 − 2x > 0
Эти требования должны выполняться одновременно. И вот тут начинается самое интересное. Безусловно, мы можем решить каждое из этих неравенств, затем пересечь их и найти область определения всего уравнения. Но зачем так усложнять себе жизнь?
Давайте заметим одну тонкость. Избавляясь от знаков log, мы приравниваем аргументы. Отсюда следует, что требования x2 − 6x + 2 > 0 и 7 − 2x > 0 равносильны. Как следствие, любое из двух неравенств можно вычеркнуть. Давайте вычеркнем самое сложное, а себе оставим обычное линейное неравенство:
−2x > −7
x < 3,5
Поскольку мы делили обе части на отрицательное число, знак неравенства поменялся.
Итак, мы нашли ОДЗ без всяких квадратных неравенств, дискриминантов и пересечений. Теперь осталось просто выбрать корни, которые лежат на данном интервале. Очевидно, что нас устроит лишь x = −1, потому что x = 5 > 3,5.
Можно записать ответ: x = 1 является единственным решением исходного логарифмического уравнения.
Выводы из данного логарифмического уравнения следующие:
Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать о группировке.:)
Сегодня мы разберем два типичных логарифмических уравнения, на которых спотыкаются многие ученики. На примере этих уравнения мы увидим, какие ошибки чаще всего допускаются в процессе решения и преобразования исходных выражений.
Сразу следует отметить, что это довольно коварный тип уравнений, в которых отнюдь не всегда сразу присутствует дробь с логарифмом где-то в знаменателе. Однако в процессе преобразований такая дробь обязательно возникнет.
При этом будьте внимательны: в процессе преобразований изначальная область определения логарифмов может существенно измениться!
Переходим к еще более жестким логарифмическим уравнениям, содержащим дроби и переменные основания. Чтобы за один короткий урок успеть больше, я не буду рассказывать элементарную теорию. Сразу перейдем к задачам:
4 log25 (x − 1) − log3 27 + 2 logx− 1 5 = 1
Посмотрев на это уравнение, кто-то спросит: «При чем здесь дробно-рациональное уравнение? Где в этом уравнении дробь?» Давайте не будем спешить и внимательно посмотрим на каждое слагаемое.
Первое слагаемое: 4 log25 (x − 1). Основанием логарифма является число, но в аргументе стоит функция от переменной x. С этим мы пока ничего сделать не можем. Идем дальше.
Следующее слагаемое: log 3 27. Вспоминаем, что 27 = 33. Следовательно, весь логарифм мы можем переписать следующим образом:
log 3 27 = 33 = 3
Итак, второе слагаемое — это просто тройка. Третье слагаемое: 2 logx− 1 5. Тут тоже не все просто: в основании стоит функция, в аргументе — обычное число. Предлагаю перевернуть весь логарифм по следующей формуле:
loga b = 1/logb a
Такое преобразование можно выполнить только если b ≠ 1. Иначе логарифм, который получится в знаменателе второй дроби, просто не будет существовать. В нашем случае b= 5, поэтому все в порядке:
2 logx− 1 5 = 2/log5 (x− 1)
Перепишем исходное уравнение с учетом полученных преобразований:
4 log25 (x − 1) − 3 + 2/ log5 (x− 1) = 1
В знаменателе дроби у нас стоит log5 (x− 1), а в первом слагаемом мы имеем log25 (x − 1). Но 25 = 52, поэтому выносим квадрат из основания логарифма по правилу:
Другими словами, степень в основании логарифма становится дробью спереди. А выражение перепишется так:
4 1/2 log5 (x− 1) − 3 + 2/ log5 (x− 1) − 1 = 0
У нас получилось длинное уравнение с кучей одинаковых логарифмов. Введем новую переменную:
log5 (x − 1) = t;
2t− 4 + 2/t = 0;
А вот это уже дробно-рациональное уравнение, которое решается средствами алгебры 8—9 класса. Для начала разделим все на двойку:
t− 2 + 1/t = 0;
(t2 − 2t + 1)/t = 0
В скобках стоит точный квадрат. Свернем его:
(t− 1)2/t = 0
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Никогда не забывайте про этот факт:
(t− 1)2= 0
t = 1
t ≠ 0
Вспоминаем, что такое t:
log5 (x − 1) = 1
log5 (x − 1) = log5 5
Избавляемся от знаков log, приравниваем их аргументы, и получаем:
x− 1 = 5 ⇒ x = 6
Все. Задача решена. Но давайте вернемся к исходному уравнению и вспомним, что там присутствовали сразу два логарифма с переменной x. Поэтому нужно выписать область определения. Поскольку x− 1 стоит в аргументе логарифма, это выражение должно быть больше нуля:
x− 1 > 0
С другой стороны, тот же x− 1 присутствует и в основании, поэтому должен отличаться от единицы:
x− 1 ≠ 1
Отсюда заключаем:
x > 1; x ≠ 2
Эти требования должны выполняться одновременно. Значение x = 6 удовлетворяет обоим требованиям, поэтому является x = 6 окончательным решением логарифмического уравнения.
Переходим ко второй задаче:
Вновь не будем спешить и посмотрим на каждое слагаемое:
log4 (x + 1) — в основании стоит четверка. Обычное число, и его можно не трогать. Но в прошлый раз мы наткнулись на точный квадрат в основании, который пришлось выносить из-под знака логарифма. Давайте сейчас сделаем то же самое:
log4 (x + 1) = 1/2 log2 (x + 1)
Фишка в том, что у нас уже есть логарифм с переменной x, хоть и в основании — он является обратным к логарифму, который мы только что нашли:
8 logx + 1 2 = 8 · (1/log2 (x + 1)) = 8/log2 (x + 1)
Следующее слагаемое — log2 8. Это константа, поскольку и аргументе, и в основании стоят обычные числа. Найдем значение:
log2 8 = log2 23 = 3
То же самое мы можем сделать и с последним логарифмом:
Теперь перепишем исходное уравнение:
1/2 · log2 (x + 1) + 8/log2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;
log2 (x + 1)/2 + 8/log2 (x + 1) − 4 = 0
Приведем все к общему знаменателю:
Перед нами опять дробно-рациональное уравнение. Введем новую переменную:
t = log2 (x + 1)
Перепишем уравнение с учетом новой переменной:
Будьте внимательны: на этом шаге я поменял слагаемые местами. В числителе дроби стоит квадрат разности:
Как и в прошлый раз, дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
(t− 4)2 = 0 ⇒ t = 4;
t ≠ 0
Получили один корень, который удовлетворяет всем требованиям, поэтому возвращаемся к переменной x:
log2 (x + 1) = 4;
log2 (x + 1) = log2 24;
x + 1 = 16;
x = 15
Все, мы решили уравнение. Но поскольку в исходном уравнении присутствовало несколько логарифмов, необходимо выписать область определения.
Так, выражение x + 1 стоит в аргументе логарифма. Поэтому x + 1 > 0. С другой стороны, x + 1 присутствует и в основании, т.е. x + 1 ≠ 1. Итого:
0 ≠ x > −1
Удовлетворяет ли найденный корень данным требованиям? Безусловно. Следовательно, x = 15 является решением исходного логарифмического уравнения.
Напоследок хотел бы сказать следующее: если вы смотрите на уравнение и понимаете, что вам предстоит решать что-то сложное и нестандартное, по старайтесь выделить устойчивые конструкции, которые впоследствии будут обозначены другой переменной. Если же какие-то слагаемые вообще не содержат переменную x, их зачастую можно просто вычислить.
Вот и все, о чем я хотел сегодня рассказать. Надеюсь, этот урок поможет вам в решении сложных логарифмических уравнений. Смотрите другие видеоуроки, скачивайте и решайте самостоятельные работы, и до встречи в следующем видео!
