Формула Грассмана связывает размерности подпространств с размерностями их суммы и пересечения.
Пусть $U$ и $W$ — подпространства в конечномерном линейном пространстве $L$. Тогда
\[\dim\left( U+W \right)=\dim U+\dim W-\dim\left( U\cap W \right)\]
Обозначим размерности подпространств: $\dim U=s$, $\dim W=t$. Поскольку $U$ и $W$ — подпространства, $U\cap W$ — тоже подпространство. Обозначим его размерность $\dim\left( U\cap W \right)=k$. Очевидно, что $k\le s$ и $k\le t$.
Выберем в подпространстве $U\cap W$ произвольный базис $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}} \right\}$. Поскольку $U\cap W\subseteq U$, дополним базис $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}} \right\}$ до базиса $U$ векторами $\left\{ {{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}} \right\}$:
\[\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}},{{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}} \right\}\]
и до базиса $W$ векторами $\left\{ {{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}} \right\}$:
\[\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}},{{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}} \right\}\]
Теперь рассмотрим систему векторов
\[\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}},{{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}},{{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}} \right\}\]
Количество векторов в этой системе равно
\[\begin{align}& k+\left( s-k \right)+\left( t-k \right)= \\ =&s+t-k= \\ =&\dim U+\dim W-\dim\left( U\cap W \right) \\ \end{align}\]
Докажем, что эта система — базис подпространства $U+W$. Для этого надо проверить их линейную независимость и максимальность.
Начнём с линейной независимости. Рассмотрим линейную комбинацию
\[\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{g}_{i}}}=0\]
Покажем, что это возможно только при
\[\begin{align}{{\alpha }_{1}}&=\ldots ={{\alpha }_{k}}=0 \\ {{\beta }_{1}}&=\ldots ={{\beta }_{s-k}}=0 \\ {{\gamma }_{1}}&=\ldots ={{\gamma }_{t-k}}=0 \\ \end{align}\]
Для этого перенесём слагаемые, отвечающие за векторы ${{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}}$, вправо от знака равенства:
\[\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}=-\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{g}_{i}}}\]
Сумма слева — это разложение некоторого вектора $v$ по базису подпространства $U$:
\[v=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}\in U\]
С другой стороны, вектор $v$ равен сумме справа, которая принадлежит подпространству $W$:
\[v=-\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{g}_{i}}}\in W\]
Следовательно, вектор $v\in U\cap W$, и его можно однозначно разложить по базису $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}} \right\}$:
\[v=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}}\]
Добавим к этой записи векторы $\left\{ {{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}} \right\}$ с нулевыми коэффициентами и получим разложение вектора $v$ по базису подпространства $U$:
\[v=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{0\cdot {{f}_{i}}}\]
Но у нас уже есть такое разложение:
\[v=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}\in U\]
В силу однозначности разложения вектора по базису получаем
\[{{\beta }_{1}}=\ldots ={{\beta }_{s-k}}=0\]
Аналогично доказывается, что
\[{{\gamma }_{1}}=\ldots ={{\gamma }_{t-k}}=0\]
Но тогда исходная линейная комбинация сведётся к простой записи
\[\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}=0\]
Это линейная комбинация векторов $\left\{ {{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}} \right\}$ — базиса $U\cap W$. Она равна нулю только в тривиальном случае:
\[{{\alpha }_{1}}=\ldots ={{\alpha }_{k}}=0\]
Следовательно, исходная линейная комбинация тривиальна.
Теперь покажем, что любой вектор $v\in U+W$ можно разложить по векторам ${{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}}$, ${{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}}$, ${{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}}$. По определению суммы подпространств, такой вектор $v$ имеет вид:
\[v={{v}_{1}}+{{v}_{2}},\quad {{v}_{1}}\in U,\quad {{v}_{2}}\in W\]
Разложим векторы ${{v}_{1}}$ и ${{v}_{2}}$ по базисам подпространств $U$ и $W$:
\[\begin{align}& {{v}_{1}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\alpha }_{i}}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}} \\ & {{v}_{2}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{\alpha _{i}^{*}{{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{f}_{i}}} \\ \end{align}\]
Сложим эти выражения и получим вектор $v$:
\[v=\,\sum\limits_{i=1}^{k}{\left( {{\alpha }_{i}}+\alpha _{i}^{*} \right)\cdot {{e}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{s-k}{{{\beta }_{i}}{{f}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{t-k}{{{\gamma }_{i}}{{f}_{i}}}\]
Следовательно, произвольный вектор $v\in U\cap W$ действительно можно разложить по векторам ${{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{k}}$, ${{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{s-k}}$ и ${{g}_{1}},\ldots ,{{g}_{t-k}}$, что и требовалось доказать. Но тогда
\[\begin{align}\dim\left( U+W \right)&=s+t-k= \\ &=\dim U+\dim W-\dim\left( U\cap W \right) \end{align}\]
Теорема доказана.
