Задача 21 — рациональное выражение

Условие

Найдите значение выражения $\left( {{a}^{3}}-25a \right)\left( \frac{1}{a+5}-\frac{1}{a-5} \right)$ при $a=-39.$

Решение

Вынесем в первом выражении ${{a}^{3}}-25a$ общий множитель $a$ за скобки

\[{{a}^{3}}-25a=a({{a}^{2}}-25)\]

В скобках получили разность квадратов, которую разложим на множители по формуле ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b).$

\[a({{a}^{2}}-25)=a({{a}^{2}}-{{5}^{2}})=a(a-5)(a+5)\]

Рассмотрим разность дробей вторых скобках $\frac{1}{a+5}-\frac{1}{a-5}.$ Приведём данное выражение к дроби с общим знаменателем $(a+5)(a-5).$

\[\begin{align}& \frac{1}{a+5}-\frac{1}{a-5}=\frac{a-5-(a+5)}{(a+5)(a-5)}= \\ & =\frac{a-5-a-5}{(a+5)(a-5)}=-\frac{10}{(a+5)(a-5)} \\ \end{align}\]

Вернёмся к исходному выражению

\[\begin{align}& \left( {{a}^{3}}-25a \right)\left( \frac{1}{a+5}-\frac{1}{a-5} \right)= \\ & =a(a-5)(a+5)\left( -\frac{10}{(a+5)(a-5)} \right)=-10a \\ \end{align}\]

По условию задано $a=-39.$ Подставим данное значение в упрощённое выражение.

\[-10a=-10\cdot (-39)=390\]

Правильный ответ

390

Смотрите также:
  1. Задание 6 — геометрия с элементами тригонометрии
  2. Приведение дробей к общему знаменателю
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 9 (без логарифмов)
  4. Общая схема решения задач B15
  5. Задача B5: площадь кольца