Задача 39 — собирающая линза

Условие

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=30$ см. Расстояние ${{d}_{1}}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние ${{d}_{2}}$ от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{{{d}_{1}}}+\frac{1}{{{d}_{2}}}=\frac{1}{f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение

В задаче требуется найти наименьшее расстояние от линзы до лампочки (${{d}_{1}}$).

Поскольку $f=30$ имеем:

\[\frac{1}{{{d}_{1}}}+\frac{1}{{{d}_{2}}}=\frac{1}{30};\]

\[\frac{1}{{{d}_{1}}}=\frac{1}{30}-\frac{1}{{{d}_{2}}}.\]

Наименьшему возможному значению ${{d}_{1}}$соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства (так как ${{d}_{1}}$ и$\frac{1}{{{d}_{1}}}$ — взаимно обратные величины ), и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность $\frac{1}{30}-\frac{1}{{{d}_{2}}}$ в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого $\frac{1}{{{d}_{2}}}$, которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя${{d}_{2}}$ (так как ${{d}_{2}}$ и$\frac{1}{{{d}_{2}}}$ — взаимно обратные величины). Поэтому ${{d}_{2}}=180$, откуда

\[\frac{1}{{{d}_{1}}}=\frac{1}{30}-\frac{1}{180};\]

\[\frac{1}{{{d}_{1}}}=\frac{5}{180};\]

\[\frac{1}{{{d}_{1}}}=\frac{1}{36};\]

\[{{d}_{1}}=36\]см

По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 30 до 50 см от линзы. Найденное значение ${{d}_{1}}$удовлетворяет условию.

Правильный ответ

36

Смотрите также:
  1. Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)
  2. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
  3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 11 (без логарифмов)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 2 вариант
  6. Тест по задачам B14: легкий уровень, 2 вариант