Задача 21 — температура звезд

Условие

Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела $P$, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: $P=\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }S{{T}^{4}}$, где $\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }=5,7\cdot {{10}^{-8}}$ — постоянная, площадь $S$ измеряется в квадратных метрах, а температура $T$ — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь $S=\frac{1}{16}\cdot {{10}^{20}}$ м2, а излучаемая ею мощность $P$ не менее $9,12\cdot {{10}^{25}}$ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Решение

По условию задачи излучаемая звездой мощность $P$ не менее $9,12\cdot {{10}^{25}}$ Вт. Поэтому наименьшую возможную температуру звезды найдем, сведя задачу к нахождению наименьшего решения неравенства $P\ge 9,12\cdot {{10}^{25}}$ при известном значениях постоянной $\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }=5,7\cdot {{10}^{-8}}$ и заданной площади звезды $S=\frac{1}{16}\cdot {{10}^{20}}$ :

\[P\ge 9,12\cdot {{10}^{25}};\]

\[\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }S{{T}^{4}}\ge 9,12\cdot {{10}^{25}};\]

\[{{T}^{4}}\ge \frac{9,12\cdot {{10}^{25}}}{\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }S};\]

\[T\ge \sqrt[4]{\frac{9,12\cdot {{10}^{25}}}{5,7\cdot {{10}^{-8}}\cdot \frac{1}{16}\cdot {{10}^{20}}}};\]

\[T\ge \sqrt[4]{\frac{912\cdot {{10}^{23}}\cdot 16}{57\cdot {{10}^{11}}}};\]

\[T\ge \sqrt[4]{256\cdot {{10}^{12}}};\]

\[T\ge \sqrt[4]{{{4}^{4}}\cdot {{({{10}^{3}})}^{4}}};\]

\[T\ge 4000.\]

Значит, наименьшая возможная температура этой звезды $T=4000\ $К.

Правильный ответ

4000

Смотрите также:
  1. Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)
  2. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
  3. Приведение дробей к общему знаменателю
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией