Задача 95 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=\left( x+16 \right){{e}^{16-x}}$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y=\left( x+16 \right){{e}^{16-x}}$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций и производной произведения:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'=\left( \left( x+16 \right){{e}^{16-x}} \right) \\ & {{y}^{'}}={{\left( x+16 \right)}^{\prime }}{{e}^{16-x}}+\left( x+16 \right){{\left( {{e}^{16-x}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{16-x}}+\left( 16+x \right){{e}^{16-x}}\left( -1 \right) \\ & {{y}^{'}}=-\left( x+15 \right){{e}^{16-x}} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\left( x+15 \right){{e}^{16-x}}=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{16-x}}\ne 0$, значит:

\[\begin{align}& x+15=0 \\ & x=-15 \\ \end{align}\]

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -15 \\ & x > -15 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < -15$, ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y=\left( x+16 \right){{e}^{16-x}}$возрастает на этом промежутке,

при $x > -15$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=\left( x+16 \right){{e}^{16-x}}$убывает на этом промежутке.

Точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$. Поэтому точкой максимума функции $y=\left( x+16 \right){{e}^{16-x}}$является точка $x=-15$.

Правильный ответ

$x=-15$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B2 на проценты: вычисление полной стоимости покупки