Задача 94 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=\left( 3-x \right){{e}^{3-x}}$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y=\left( 3-x \right){{e}^{3-x}}$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций, производной сложной функции и производной произведения:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( \left( 3-x \right){{e}^{3-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 3-x \right)}^{\prime }}{{e}^{3-x}}+\left( 3-x \right){{\left( {{e}^{3-x}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=-{{e}^{3-x}}+\left( 3-x \right){{e}^{3-x}}\left( -1 \right) \\ & {{y}^{'}}=\left( x-4 \right){{e}^{3-x}} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \left( x-4 \right){{e}^{3-x}}=0 \\ & \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{3-x}}\ne 0$, значит:

\[\begin{align}& x-4=0 \\ & x=4 \\ \end{align}\]

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < 4 \\ & x > 4 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < 4$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=\left( 3-x \right){{e}^{3-x}}$убывает на этом промежутке,

при $x > 4$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y=\left( 3-x \right){{e}^{3-x}}$ возрастает на этом промежутке.

Точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$ на $+$. Поэтому точкой минимума функции $y=\left( 3-x \right){{e}^{3-x}}$является точка $x=4$.

Правильный ответ

$x=4$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B2: Сложный процент и стандартная формула