Задача 93 — точка максимума

5 декабря 2016

Условие

Найдите точку максимума функции $y=\left( 9-x \right){{e}^{x+9}}$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Найти область определения функции
Найти производную рассматриваемой функции
Найти подозрительные на экстремумы точки (те точки, в которых производная заданной функции равна нулю или не существует)
Отметить найденные точки на числовой прямой, определить знаки производной на получившихся промежутках
Сделать вывод о характере точек экстремума, найти необходимые точки

Функция $y=\left( 9-x \right){{e}^{x+9}}$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций и производной произведения:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( \left( 9-x \right){{e}^{x+9}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 9-x \right)}^{\prime }}{{e}^{x+9}}+\left( 9-x \right){{\left( {{e}^{x-9}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=-{{e}^{x+9}}+\left( 9-x \right){{e}^{x+9}} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{x+9}}\left( -1+9-x \right)=\left( 8-x \right){{e}^{x+9}} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\left( 8-x \right){{e}^{x+9}}=0\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{x+9}}\ne 0$, значит:

\[\begin{align}& 8-x=0 \\ & x=8 \\ \end{align}\]

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < 8 \\ & x > 8 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < 8$, ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y=\left( 9-x \right){{e}^{x+9}}$возрастает на этом промежутке,

при $x > 8$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=\left( 9-x \right){{e}^{x+9}}$убывает на этом промежутке.

Точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$. Поэтому точкой максимума функции $y=\left( 9-x \right){{e}^{x+9}}$является точка $x=8$.

Правильный ответ

$x=8$

Смотрите также: