Задача 91 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=\left( x-8 \right){{e}^{x-7}}$ на отрезке [6; 8].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\left( x-8 \right){{e}^{x-7}}$является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции: для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left(\right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \left( x-8 \right){{e}^{x-7}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( x-8 \right)}^{'}}{{e}^{x-7}}+(x-8){{e}^{x-7}} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{x-7}}+\left( x-8 \right){{e}^{x-7}} \\ & {{y}^{'}}=\left( x-7 \right){{e}^{x-7}} \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \left( x-7 \right){{e}^{x-7}}=0 \\ \end{align}\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Так как множитель ${{e}^{x-7}}$ не равен 0 ни при каких значениях $x$, значит, второй множитель должен быть равен нулю:

\[\begin{align}& x-7=0 \\ & x=7 \\ \end{align}\]

Видим, что $x=7$ попадает в заданный отрезок.

Так как наименьшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( 6 \right)=\left( 6-8 \right){{e}^{6-7}}=-2\frac{1}{e} \\ & y\left( 8 \right)=\left( 8-8 \right){{e}^{8-7}}=0 \\ & y\left( 7 \right)=\left( 7-8 \right){{e}^{7-7}}=-1 \\ \end{align}\]

Чтобы найти наименьше значение, рассмотрим $y(6)=-\frac{2}{e}$

Известно, что $e\approx \frac{11}{4}$

Поэтому: $y(6)=-\frac{2}{e}\approx -2\div \frac{11}{4}=-2\cdot \frac{4}{11}=-\frac{8}{11}$

Сравним $y\left( 6 \right)$ и $y\left( 7 \right)$: $-1 < -\frac{8}{11}$

Поэтому, наименьшим значением функции на заданном отрезке является значение $y=-1$, которое функция принимает в точке $x=7$.

Правильный ответ

–1

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией