Задача 87 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=11+48x-{{x}^{3}}$ на отрезке [–4; 4].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 11+48x-{{x}^{3}} \right)}^{'}}=-3{{x}^{2}}+48\]

Производная существует при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$, а значит и на заданном отрезке.

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& -3{{x}^{2}}+48=0 \\ & -3\left( {{x}^{2}}-16 \right)=0 \\ & -3\left( x+4 \right)\left( x-4 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=-4,{{x}_{2}}=4 \\ \end{align}\]

Выбираем только те значения $x$, которые попадают в заданный отрезок $\left[ -4;4 \right]$, а это оба значения.

Теперь найдем значения функции в найденных точке и на границах отрезка:

\[\begin{align}& y\left( -4 \right)=11+48(-4)-{{\left( -4 \right)}^{3}}=11-192+64=-117 \\ & y\left( 4 \right)=11+48\cdot 4-{{\left( 4 \right)}^{3}}=11+192-64=139 \\ &\\ \end{align}\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наименьшее значение в точке $x=-4$ и это значение равно $-117$.

Правильный ответ

$-117$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 2 (без логарифмов)
  5. Иррациональные неравенства. Часть 2
  6. Задача B4: обмен валют в трех различных банках