Задача 82 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+3$ на отрезке [–3;-0,5].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[{y}'=3{{x}^{2}}+4x+1\]

Производная существует при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$, а значит и на заданном отрезке.

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& 3{{x}^{2}}+4x+1=0 \\ & D=16-4\cdot 3\cdot 1=4 \\ & \sqrt{D}=2 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{-4+2}{2\cdot 3}=-\frac{1}{3}\\{{x}_{2}}=\frac{-4-2}{2\cdot 3}=-1\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Выбираем только те значения $x$, которые попадают в заданный отрезок $\left[ -3;-0,5 \right]$, а именно: $x=-1$.

Теперь найдем значения функции в найденной точке и на границах отрезка:

\[\begin{align}& y\left( -1 \right)=-1+2-1+3=3 \\ & y\left( -3 \right)={{\left( -3 \right)}^{3}}+2{{\left( -3 \right)}^{2}}-3+3=-27+18=-9 \\ & y\left( -0,5 \right)={{\left( -0,5 \right)}^{3}}+2{{\left( -0,5 \right)}^{2}}-0,5+3=-0,125+0,5-0,5+3=2,875 \\ &\\ \end{align}\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наибольшее значение в с точке $x=-1$ и это значение равно 3.

Правильный ответ

3

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задача B2 на проценты: вычисление полной стоимости покупки