Задача 81 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Найдем область определения функции, определив, при каких значениях знаменатель дроби $-\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$ обращается в нуль, то есть при каких значениях $x$ функция $y=-\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$ не определена:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}+1=0 \\ & {{x}^{2}}=-1 \\ \end{align}\]

Видим, что решений у данного уравнение не существует, а значит, функция определена при любом значении $x$.

Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой частное. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной частного:

\[{{\left( \frac{f}{q} \right)}^{'}}=\frac{{{f}^{'}}\cdot g-f\cdot {{g}^{'}}}{{{g}^{2}}}\]

А также правилом вычисления производной от элементарной, степенной функции и константы:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( -\frac{x}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{1}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{{{\left( x \right)}^{'}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{'}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=-\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\left( 2x \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\]

Теперь найдем точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{{{x}^{2}}-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=0 \\ \end{align}\]

Рассмотрим знаменатель дроби: ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}$, который, очевидно, всегда больше нуля.

Тогда, для того, чтобы производная была равна нулю, необходимо, чтобы ${{x}^{2}}-1=0$. Решим это уравнение:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}-1=0 \\ & \left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=-1 \\ \end{align}\]

Отметив на рисунке, все точки, в которых производная может менять знак, определим поведение функции:

Получаем:

при $x < -1$ производная ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $-1 < x < 1$ производная ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y$убывает на этом промежутке,

при $x > 1$ производная ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке.

Известно, что точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с – на +, а значит, точкой минимума функции $y=-\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$является точка $x=1$.

Правильный ответ

$x=1$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B2: Сложный процент и метод коэффициентов