Задача 77 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=\frac{25}{x}+x+25$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Областью определения функции $y=\frac{25}{x}+x+25$являются все значения $x$, кроме $x=0$, т. к. в этой точке знаменатель дроби равен нулю, что недопустимо.

То есть, $x\ne 0$

Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой сумму элементарных функций. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилами вычисления производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{'}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\& {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \frac{25}{x} \right)}^{'}}+{{\left( x \right)}^{'}}+{{\left( 25 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{25}{{{x}^{2}}}+1 \\ \end{align}\]

Из области определения производной, видим, что $x\ne 0$, но эта точка не может являться критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции $y=\frac{25}{x}+x+25$, а, следовательно, и экстремума в этой точке быть не может, даже если производная при переходе через нее меняет свой знак.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$, не забывая о том, что $x\ne 0$:

\[\begin{align}& \left\{ \begin{matrix}{{y}^{'}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}-\frac{25}{{{x}^{2}}}+1=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}{{x}^{2}}-25=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}{{x}_{1}}=5,{{x}_{2}}=-5\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Отметив на рисунке, все точки, в которых производная может менять знак, определим поведение функции:

Получаем:

при $x < -5$ производная ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $-5 < x < 5$, $x\ne 0$ производная ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y$убывает на этом промежутке,

при $x > 5$ производная ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке.

Известно, что точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с – на +, а значит, точкой минимума функции $y=\frac{25}{x}+x+25$ является точка $x=5$.

Правильный ответ

$x=5$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией