Задача 76 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=\frac{16}{x}+x+3$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Областью определения функции $y=\frac{16}{x}+x+3$ являются все значения $x$, кроме $x=0$, т. к. в этой точке знаменатель дроби равен нулю, что недопустимо.

То есть, $x\ne 0$

Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой сумму элементарных функций. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилами вычисления производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{'}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\& {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 16\frac{1}{x} \right)}^{'}}+{{\left( x \right)}^{'}}+{{\left( 3 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{16}{{{x}^{2}}}+1 \\ \end{align}\]

Из области определения производной, видим, что $x\ne 0$, но эта точка не может являться критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции $y=\frac{16}{x}+x+3$, а, следовательно, и экстремума в этой точке быть не может, даже если производная при переходе через нее меняет свой знак.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$, не забывая о том, что $x\ne 0$:

\[\left\{ \begin{matrix}{{y}^{'}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left\{ \begin{matrix}-\frac{16}{{{x}^{2}}}+1=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left\{ \begin{matrix}{{x}^{2}}-16=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left\{ \begin{matrix}\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left\{ \begin{matrix}{{x}_{1}}=4,{{x}_{2}}=-4\\x\ne 0\\\end{matrix} \right.\]

Отметив на рисунке, все точки, в которых производная может менять знак, определим поведение функции:

Получаем:

при $x < -4$ производная ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $-4 < x < 4$, $x\ne 0$ производная ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y$убывает на этом промежутке,

при $x > 4$ производная ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке.

Известно, что точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с + на –, а значит, точкой максимума функции $y=\frac{16}{x}+x+3$ является точка $x=-4$.

Правильный ответ

$x=-4$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 2 (без логарифмов)
  5. Задача B4: случай с неизвестным количеством товара
  6. Задача B4: Семья из трех человек ведет из Москвы в Нижний Новгород