Задача 74 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=\frac{{{x}^{2}}+25}{x}$ на отрезке [1; 10].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\frac{{{x}^{2}}+25}{x}$являются все значения $x$, кроме $x=0$, т. к. в этой точке знаменатель дроби равен нулю, что недопустимо.

Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой частное. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной частного:

\[{{\left( \frac{f}{q} \right)}^{'}}=\frac{{{f}^{'}}\cdot g-f\cdot {{g}^{'}}}{{{g}^{2}}}\]

А также правилом вычисления производной от элементарной, степенной функции и константы:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\& {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=\frac{\left( {{x}^{2}}+25 \right)'x-{{\left( x \right)}^{'}}\left( {{x}^{2}}+25 \right)}{{{x}^{2}}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-25}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-25}{{{x}^{2}}} \\ \end{align}\]

Из области определения производной, видим, что $x\ne 0$, но эта точка не может являться критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции $y=\frac{{{x}^{2}}+25}{x}$, даже если производная при переходе через нее меняет свой знак.

Поэтому и наименьшее значение функция не может принимать в этой точке.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$, не забывая о том, что $x\ne 0$:

\[\left\{ \begin{matrix}\frac{{{x}^{2}}-25}{{{x}^{2}}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left\{ \begin{matrix}\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=5,{{x}_{2}}=-5 \\ & x\ne 0 \\ \end{align} \right.\]

Видим, что $x=-5$ не попадает в заданный отрезок. Отбрасываем его.

Так как наименьшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( 1 \right)=26 \\ & y\left( 10 \right)=12,5 \\ & y\left( 5 \right)=10 \\ \end{align}\]

Видим, что наименьшее значение функции на заданном отрезке $y=10$, которое функция принимает в точке $x=5$.

Правильный ответ

$y=10$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 11 (без логарифмов)
  5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
  6. Формула простого процента: как найти исходное значение