Задача 73 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+1}{x}$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Областью определения функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+1}{x}$являются все значения $x$, кроме $x=0$, т. к. в этой точке знаменатель дроби равен нулю, что недопустимо.

То есть, $x\ne 0$

Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой частное. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной частного:

\[{{\left( \frac{f}{q} \right)}^{'}}=\frac{{{f}^{'}}\cdot g-f\cdot {{g}^{'}}}{{{g}^{2}}}\]

А также правилом вычисления производной от элементарной, степенной функции и константы:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( -\frac{{{x}^{2}}+1}{x} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{'}}x-{{\left( x \right)}^{'}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}} \\ \end{align}\]

Из области определения производной, видим, что $x\ne 0$, но эта точка не может являться критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+1}{x}$, а, следовательно, и экстремума в этой точке быть не может, даже если производная при переходе через нее меняет свой знак.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$, не забывая о том, что $x\ne 0$:

\[\begin{align}& \left\{ \begin{matrix}\frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)=0\\ x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}{{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=-1\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Отметив на рисунке, все точки, в которых производная может менять знак, определим поведение функции:

Получаем:

при $x < -1$ производная ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $-1 < x < 1$, $x\ne 0$ производная ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$возрастает на этом промежутке,

при $x > 1$ производная ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y$ убывает на этом промежутке.

Известно, что точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с – на +, а значит, точкой минимума функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+1}{x}$является точка $x=-1$.

Правильный ответ

$x=-1$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги