Задача 72 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+289}{x}$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Областью определения функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+289}{x}$ являются все значения $x$, кроме $x=0$, т. к. в этой точке знаменатель дроби равен нулю, что недопустимо.

То есть, $x\ne 0$

Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой частное. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной частного:

\[{{\left( \frac{f}{q} \right)}^{'}}=\frac{{{f}^{'}}\cdot g-f\cdot {{g}^{'}}}{{{g}^{2}}}\]

А также правилом вычисления производной от элементарной, степенной функции и константы:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+289 \right)}^{'}}x-{{x}^{'}}\left( {{x}^{2}}+289 \right)}{{{x}^{2}}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-289}{{{x}^{2}}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{289-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}} \\ \end{align}\]

Из области определения производной, видим, что $x\ne 0$, но эта точка не может являться критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции $y=\frac{{{x}^{2}}+289}{x}$, а, следовательно, и экстремума в этой точке быть не может, даже если производная при переходе через нее меняет свой знак.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$, не забывая о том, что $x\ne 0$:

\[\begin{align}& \left\{ \begin{matrix}\frac{289-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}\left( 17-x \right)\left( 17+x \right)=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}{{x}_{1}}=17,{{x}_{2}}=-17\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Отметив на рисунке, все точки, в которых производная может менять знак, определим поведение функции:

Получаем:

при $x < -17$ производная ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=-\frac{{{x}^{2}}+289}{x}$ убывает на этом промежутке,

при $-17 < x < 17$, $x\ne 0$ производная ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y=-\frac{{{x}^{2}}+289}{x}$возрастает на этом промежутке,

при $x > 17$ производная ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=-\frac{{{x}^{2}}+289}{x}$ убывает на этом промежутке.

Точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с + на –, а значит точкой максимума функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+289}{x}$ является точка $x=17$.

Правильный ответ

$x=17$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B1: №17—32
  5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задачи B2 на проценты: налоги и зарплата