Задача 71 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=4{{x}^{2}}-10x+2\ln x-5$ на отрезке [0,3; 3].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции $y=4{{x}^{2}}-10x+2\ln x-5$: $x > 0$ — область определения функции $\ln x$.

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 4{{x}^{2}}-10x+2\ln x-5 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=8x-10+\frac{2}{x} \\ \end{align}\]

Производная не существует при $x=0$, но функция не определена в этой точке, поэтому в этой точке функция не может иметь экстремум, также как и наибольшее и наименьшее значение.

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& 8x-10+\frac{2}{x}=0 \\ & \frac{8{{x}^{2}}-10x+2}{x}=0 \\ &\\ \end{align}\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 8{{x}^{2}}-10x+2=0 \\ & 4{{x}^{2}}-5x+1=0 \\ & D=25-16=9 \\ & \sqrt{D}=3 \\ & {{x}_{1}}=\frac{5+3}{8}=1 \\ & {{x}_{2}}=\frac{5-3}{8}=\frac{1}{4}=0,25 \\ & {{y}^{'}}=\frac{8\left( x-1 \right)\left( x-0,25 \right)}{x} \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 0,25 \\ & 0,25 < x < 1 \\ & x > 1 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $0,3\le x < 1$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит, $y\left( 0,3 \right) > y\left( 1 \right)$,

при $1 < x\le 3$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( 3 \right) > y\left( 1 \right)$

Поэтому своё наименьшее значение на отрезке $\left[ 0,3;3 \right]$ функция принимает в точке $x=1$, которая является точкой минимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с– на+).

Найдем это значение:

\[y\left( 1 \right)=4\cdot 1-10\cdot 1+2\cdot 0-5=-11\]

Правильный ответ

–11

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией