Задача 70 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=3+27x-{{x}^{3}}$ на отрезке [−3; 3].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 3+27x-{{x}^{3}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-3{{x}^{2}}+27=-3\left( {{x}^{2}}-9 \right) \\ & {{y}^{'}}=-\left( x-3 \right)\left( x+3 \right) \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=3,{{x}_{2}}=-3 \\ \end{align}\]

Выбираем только те значения $x$, которые попадают в заданный отрезок $\left[ -3;3 \right]$. В данном случае это оба найденных значения.

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на границах отрезка.

Заметим, что ${{x}_{1}}=3$ совпадает с правым концом отрезка, а ${{x}_{2}}=-3$ совпадает с левым концом отрезка.

Поэтому, найдем значения функции только в этих двух точках:

\[\begin{align}& y\left( 3 \right)=3+27\cdot 3-{{\left( 3 \right)}^{3}}=3+81-27=57 \\ & y\left( -3 \right)=3-27\cdot 3-{{\left( -3 \right)}^{3}}=3-81+27=-51 \\ \end{align}\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наибольшее значение в точке $x=3$ и это значение равно 57.

Правильный ответ

57

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B15: что делать с квадратичной функцией