Задача 68 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=\sqrt{{{x}^{2}}+6x+29}$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Найдем область определения функции, зная, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[\begin{align}& g={{x}^{2}}+6x+29 \\ & g\ge 0 \\ & {{x}^{2}}+6x+29\ge 0 \\ \end{align}\]

Решим это неравенство методом интервалов:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}+6x+29=0 \\ & D=36-4\cdot 1\cdot 29=36-116=-80 < 0 \\ \end{align}\]

Уравнение не имеет решений.

Учитывая, что коэффициент $a=1$ — положительный и график функции $g={{x}^{2}}+6x+29$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, не пересекающими ось x (так как уравнение не имеет решений) можем сделать вывод, что ${{x}^{2}}+6x+29 > 0$ всегда.

И значит, функция $y=\sqrt{{{x}^{2}}+6x+29}$ определена на всей числовой прямой.

Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой сложную функцию. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной от сложной функции, а также от функции со знаком квадратного корня и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{v}^{'}} \\ & {{\left( \sqrt{x} \right)}^{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+6x+29} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{2x+6}{2\sqrt{{{x}^{2}}+6x+29}} \\ &\\ \end{align}\]

Теперь найдем точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{2x+6}{2\sqrt{{{x}^{2}}+6x+29}}=0 \\ & 2x+6=0 \\ & x=-3 \\ \end{align}\]

Знаменатель дроби всегда положительный. Производная существует при любом значении $x$.

Значит, производная может менять знак только в точке $x=-3$ и других подозрительных на экстремум точек нет, отметим это на рисунке:

Получаем:

при $x < -3$ производная ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > -3$ производная ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке.

Точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с – на +. Поэтому точкой минимума функции $y=\sqrt{{{x}^{2}}+6x+29}$ является точка $x=-3$.

Правильный ответ

$x=-3$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. ЕГЭ-2014 по математике и открытый банк задач