Задача 67 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y={{\left( x+6 \right)}^{2}}\left( x-10 \right)+8$ на отрезке [–14; –3].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка.

Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций, производной произведения и производной сложной функции:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{\left( u \right)}^{'}}{{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( f\cdot g \right)}^{'}}={{f}^{'}}\cdot g+f\cdot {{\left( g \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=2\left( x+6 \right)\left( x-10 \right)+{{\left( x+6 \right)}^{2}}\cdot 1=\left( x+6 \right)\left( 2x-20+x+6 \right) \\ & {{y}^{'}}=\left( x+6 \right)\left( 3x-14 \right) \\ \end{align}\]

Решим уравнение ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& \left( x+6 \right)\left( 3x-14 \right)=0 \\ & \left[ \begin{matrix}x+6=0\\3x-14=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=-6\\{{x}_{2}}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=3\left( x+6 \right)\left( x-4\frac{2}{3} \right) \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < -6 \\ & -6 < x < 4\frac{2}{3} \\ & x > 4\frac{2}{3} \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $-14\le x < -6$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает, а значит, $y\left( -6 \right) > y\left( -14 \right)$,

при $-6 < x\le -3$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит $y\left( -6 \right) > y\left( -3 \right)$

Поэтому своё наибольшее значение на отрезке $\left[ -14;-3 \right]$ функция принимает в точке $x=-6$, которая является точкой максимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с + на–).

Найдем это значение:

\[y\left( -6 \right)={{\left( -6+6 \right)}^{2}}\left( -6-10 \right)+8=8\]

Видим, что наибольшее значение функции на этом отрезке равно 8, которое она принимает в точке максимума $x=-6$.

Правильный ответ

8

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Тест по задачам B14: средний уровень, 1 вариант