Задача 64 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=33x-30\sin x+29$ на отрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2};0 \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right)\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 33x-30\sin x+29 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=33-30\cos x \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & 33-30\cos x=0 \\ & \cos x=\frac{33}{30}=\frac{11}{10} \\ &\\ \end{align}\]

Это уравнение не имеет решений, т.к. $\cos x$ не может быть больше 1.

А производная ${{y}^{'}}=33-30\cos x$ всегда положительная.

Поэтому функция $y=33x-30\sin x+29$возрастает на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $\left[ -\frac{\pi }{2};0 \right]$ и наибольшее значение на этом отрезке она принимает на его правом конце, а именно в точке $x=0$.

Найдем это значение:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=33\cdot 0-30\sin 0+29 \\ & \sin 0=0 \\ & y\left( 0 \right)=29 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

29

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Задача 18: метод симметричных корней
  6. Задача B4: Скачать файл на разной скорости