Задача 231 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=\sqrt{{{x}^{2}}+6x+12}$.

Решение

Имеем функцию вида $y=\sqrt{z}$. Эта функция возрастает на всей числовой прямой, т. е. большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

А значит, минимума эта функция будет достигать в той же точке, в которой будет достигать минимума функция, стоящая под знаком корня, если она в ней определена.

Теперь рассмотрим подкоренное выражение (обозначим его функцией $z$):

\[z={{x}^{2}}+6x+12\]

Знаем, что график функции вида $z=a{{x}^{2}}+bx+c$ представляет собой параболу, с ветвями, направленными вверх, если $a > 0$, с ветвями, направленными вниз, если $a < 0$.

Таким образом, графиком функции $z={{x}^{2}}+6x+12$ является парабола, с ветвями направленными вверх (так как $1 > 0$), минимума эта функция достигает в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}+6x+12$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{-6}{2\cdot (1)}=-3\]

Значит $x=-3$ — точка минимума функции $z={{x}^{2}}+6x+12$.

Проверим, определена ли функция $y=\sqrt{{{x}^{2}}+6x+12}$ в найденной точке и вычислим:

\[y\left( -3 \right)=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}-18+12}=\sqrt{3}\]

Определена.

А значит и функция $y=\sqrt{{{x}^{2}}+6x+12}$ в точке $x=-3$ имеет свой минимум и $x=-3$ является точкой минимума.

Правильный ответ

$x=-3$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Как не ошибиться, если я ищу репетитора по математике
  6. Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)