Задача 230 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=\sqrt{-6+12x-{{x}^{2}}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y=\sqrt{z}$. Эта функция, возрастающая на всей числовой прямой, т. е. большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

А значит, максимума эта функция будет достигать в той же точке, в которой будет достигать максимума функция, стоящая под знаком корня. При условии, что функция определена в этой точке.

Теперь рассмотрим подкоренное выражение (обозначим его функцией $z$):

\[z=-6+12x-{{x}^{2}}\]

\[z=-{{x}^{2}}+12x-6\]

Знаем, что график функции вида $z=a{{x}^{2}}+bx+c$ представляет собой параболу, с ветвями, направленными вверх, если $a > 0$, с ветвями, направленными вниз, если $a < 0$.

Таким образом, графиком функции $z=-4{{x}^{2}}-4x+4$ является парабола, с ветвями направленными вниз (так как $-1 < 0$), максимума функция достигает в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z=-4{{x}^{2}}-4x+4$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{12}{2\cdot (1)}=6\]

Проверим, определена ли функция $y=\sqrt{-6+12x-{{x}^{2}}}$ в найденной точке и вычислим:

\[y\left( 6 \right)=\sqrt{-6+12\cdot 6-36}=\sqrt{30}\]

Определена.

А значит и функция $y=\sqrt{-6+12x-{{x}^{2}}}$ в точке $x=6$ имеет свой максимум и $x=6$ является точкой максимума.

Правильный ответ

6

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Тригонометрические функции
  6. Задача B5: площадь сектора