Задача 228 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $f\left( x \right)=\cos \left( \sin x \right)+2$ на отрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2};0 \right]$.

Решение

Рассмотрим заданный отрезок на тригонометрическом круге.

Функции $\sin x$: значения этой функции на рисунке изменяются по оси ординат, а значит, при $x\in \left[ -\frac{\pi }{2};0 \right]$ функция $\sin x$ возрастает и принимает значения $\left[ -1;0 \right]$.

Функция $\cos x$: значения этой функции изменяются по оси абсцисс, а значит, при $x\in \left[ -\frac{\pi }{2};0 \right]$ функция $\cos x$ возрастает и принимает значения $\left[ 0;1 \right]$.

Так как функция $f\left( x \right)=\cos \left( \sin x \right)+2$ также возрастающая, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

А наибольшее значение она принимает в точке $x=0$, где $\sin x=0$, а $\cos \left( \sin x \right)=\cos 0=1$, а значит, функция $f\left( x \right)=\cos \left( \sin x \right)+2$ определена в этой точке.

Вычислим наибольшее значение:

\[f\left( 0 \right)=\cos \left( \sin 0 \right)+2=\cos \left( 0 \right)+2=1+2=3\]

Правильный ответ

3

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 12 (без логарифмов)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат