Задача 227 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{3}^{{{x}^{2}}-6x+14}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{a}^{z}}$. Эта функция возрастающая. То есть большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому в той точке, в которой аргумент $z={{x}^{2}}-6x+14$ принимает наименьшее значение — функция $y={{3}^{{{x}^{2}}-6x+14}}$ также принимает наименьшее значение, если она в ней определена.

Найдем эту точку.

Рассмотрим $z={{x}^{2}}-6x+14$. Графиком этой функции является парабола, с ветвями направленными вверх (т.к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ положительный).

Такая парабола принимает наименьшее значение в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}-6x+14$ имеет вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{6}{2\cdot (1)}=3.\]

Проверим, определена ли функция $y={{3}^{{{x}^{2}}-6x+14}}$ в найденной точке и вычислим:

\[y\left( 3 \right)={{3}^{{{3}^{2}}-6\cdot 3+14}}={{3}^{5}}=243\]

Определена.

А значит наименьшее значение функции $y={{3}^{{{x}^{2}}-6x+14}}$ равно 243.

Правильный ответ

243

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Как не ошибиться, если я ищу репетитора по математике
  6. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов